2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析）例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）AB． C ．132D．例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A C D例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π三、其他柱体、锥体的外接球问题二、与正棱锥有关的外接球问题一、构造正方体与长方体的外接球问题一、选择题1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．12πD ．3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．32π34．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体，则这个球的表面积为（ ） A ．169π16 B ．289π16 C ．25π16D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π对点增分集训6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A ．21π B ．32π3 C ．16π3D ．16π7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =，AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36π B ．88π C ．92π D ．128π8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．16πB ．24πC ．D ．48π10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3 B ．30π3 C ．20π3 D ．10π311．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．则四面体P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．B ．24πC ．D ．48π12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC =则这个四面体的体积为（ ）A ．23B ．3C ．3D ．3二、填空题13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD是边长为PA =OAB △的面积为 ． 15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积 ．16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．例1：【答案】C【解析】∵AB AC⊥，∴直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成长方体，则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O132=．例2：【答案】C【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，∴球心是底面三角形的中心，∵球的半径为1，即该正三棱锥的体积为211344⨯⨯=．例3：【答案】C【解析】设球O的半径为R，则212AOBS R=△，当OC⊥平面AOB时，三棱锥O ABC-的体积最大，此时2113632V R R=⨯⨯=，解得6R=，所以球O的表面积为24π6144πS=⨯=．外接球答案一、选择题 1．【答案】C【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为，球的表面积为24π． 2．【答案】A【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2R l ===2R =，23=4π4π3π4S R =⨯=球． 3．【答案】C【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，则外接球的半径2R ==，故表面积为24π12πS R ==． 4．【答案】B【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =︒=．由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．ABC △的外接圆半径满足2sin a r A=2r =，∴1r BE ==．在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178R =． 据此可得这个球的表面积为22892894π4ππ6416S R ==⨯=．5．【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，即此球的半径2R =，故球的表面积24π3πS R ==．6．【答案】D【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，所以11=332PD ⨯，解得=3PD ，设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，在OCD Rt △中，12CD AC ==由勾股定理得222(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为24π216πS =⨯=．7．【答案】B【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD = 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，又AB ⊥平面ACD ，故2R ==，则24π88πV =⨯=． 8．【答案】D【解析】由题意可知221111(sin 60)(sin 60)3232C OAB V R h R R -=︒≤︒=6R =，34=π288π3V R =球．9．【答案】C【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==AO ==所以球的体积为34π3⨯=．10．【答案】A【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，∴22212cos604922372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，即BC =∴2sin 60BC r ==︒，解得r =∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ， 则将三棱锥补成三棱柱可得，2222110()1293PA R r =+=+=， 即球O 的表面积为21040π4π4π33S R ==⨯=． 11．【答案】A【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．∴sin 3APO ∠=，cos 3APO ∠=，∴3AO =，3PO =． 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，∴222O O AO AO ''+=，∴222()()33R R -+=，解得R =．∴四面体P ABC -的外接球的体积为．12．【答案】B【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222AB BC AC +=．∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点． ∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．即BC ⊥面ABC ，DC =则四面体的体积为1113323ABC S DC ⋅=⨯=△． 二、填空题 13．【答案】29π【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，设该三棱锥的外接球半径为R ，∴2R ==，∴R =． ∴外接球的表面积为24π29πS R ==．14．【答案】【解析】∵ABCD是边长为PA ⊥平面ABCD，PA =． ∴222242448PC AP AC =+=+=，∴2R =R OP ==∴1sin 602AOB S =⨯︒=△． 15．【答案】160π3 【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos 283BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =2sin 3r ==r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =，1O A r ==∴2428404214933R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯=．16．【答案】12π【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r =，r =所以球的表面积为24π12πS R ==．。