1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。

4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．6.已知抛物线1C :2x y =，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程7.如图7，椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.()I 求1C ，2C 的方程；()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得321721=S S ？请说明理由.1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②；由①、②得11||| 1.x y == 此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅223k =+=，又,2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率存在时，由（I）知11|||||2||2,2OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m⋅=⨯-⨯⨯+2211(3)(2)m m=-+222113225()24m m -++≤=所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤== 即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||5OM PQ ==时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得6.ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明：假设存在11226(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===满足， 由（I ）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3; 1.25,,,,,1,u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从中选取只能从中选取因此D ，E ，G 只能在6(,1)±±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与62ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- ………………4分当13,,, 22A Be b a y y==时分别用表示A ，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAy bBC ADy a===………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t≠时，BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即2222,b aa t a ta bt t a--=-解得222221.ab et aa b e-=-=---因为2212||,01,1, 1.2et a e ee-<<<<<<又所以解得所以当20e<≤时，不存在直线l，使得BO//AN；当21e<<时，存在直线l使得BO//AN.3.设λ>0，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y x2=上运动，点Q满足QABQλ=，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQMλ=,求点P的轨迹方程。

【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

【解析】：由QM MPλ=知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设(,)P x y，(,)Q x y，(,)M x x2，则()x y y xλ22-=-，即()()y x y x x yλλλ222=--=1+-①再设(,)B x y11,由BQ QAλ=，即(,)(,)x x y y x yλ1010--=1-1-，解得()()x xy yλλλλ110=1+-⎧⎨=1+-⎩②将①代入②式，消去y得()()()x xy x yλλλλλλ1221=1+-⎧⎨=1+-1+-⎩③又点B在抛物线y x2=上，所以y x211=，再将③式代入得()()[()]x y xλλλλλλ2221+-1+-=1+-，即()()()()x y x xλλλλλλλλ222221+-1+-=1+-21++，即()()()x yλλλλλλ21+-1+-+1=0，因为λ>0，等式两边同时约去()λλ1+得x y2--1=0这就是所求的点P的轨迹方程。

【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。