2式中k为常数积分后得
1 vr , v r r k f1 (r )
r
f 2 ( )
由解的同一性知
k f1 (r ) 0, f 2 ( ) r
f1 ( )且 k f 2 (r )
由速度位φ存在的条件又可得出流场一定是无旋流场(除原点外).该流场的流线和 等位线如图2-10所示。该流动为流体力学中的基本流动、通常称为点涡流动.
图2-10
点涡流动的流线和等位线
例2-4 设某二维流动的速度分布为vx=ay, vy=0,a为常数，求 该流场的速度位函数。
vz v y vx vz v y vx curl i + k j+ y z z x x y
例2-2
解 由式
在例2-1流场中，已知vx=ax; vy=-ay，求位函数φ。
vx , vy , vz 分别进行积分得 x y z 1 2 ax f1 ( y ) 2 1 2 ay f 2 ( y )
f1 ( x) Bx, f 2 ( y) Ay
由解的同一性可知
即
Ax By
由求得的流函数和速度位，可求出流线的斜率为
dy A （ ） p dx B
等位线斜率为
而
dy A （ ） p dx B
dy dy （ ） （ ） s p 1 dx dx
于是可知均匀直线流动中的流线 族与等位线族是正交的，见右图 直匀流场中的流线与等位线
v y x
由
2

vx 00 0 y
可知流场存在速度位函数φ,于是有
最后得
1 a( x 2 y ) 2
1 2 f1 ( y ) ay 2 1 2 f 2 ( y ) ax 2 2
等位线是 a( x y ) C ,为等边双曲线，以x=y，及x=-y两直线为其渐近线，画 出来的流线和等位线如图2-9所示.图中的实线表示流线，虚线表示等位线。该流动 称为直角流动.
2.1.2 迹线、流线和流管
(3)一般情况下流线不会相交。但有三种情况例外,见图2-2.
(4)流场中每一点都有流线通过，所有流线的集合称流线谱或简称流谱. 3.流管 在流场中取一条不为流线的封闭曲线C，经过曲线C上每一点作流线，由 这些流线集合构成的管状曲面称为流管，如图2-5所示。 由于流管是由流线构成，因此流体不能穿出或穿入流管表面。在任意瞬时， 流场中的流管类似于真实的固体管壁。
2.2.1 微团运动的分祈 流体运动与刚体运动不同，刚体运动是由平移运动和绕某瞬时轴的旋转运 动所组成。而流体运动除了具有类似于刚体的平移和旋转运动外，通常还 具有变形运动(包括直线变形和剪切变形)。因流体运动较刚体运动多了变 形运动形式，所以流体运动形式要比刚体运动形式复杂得多。
图2-5
流场中的流管
例2-6 设二维不可压流动中 vr＝f(r), vθ=0。求满足质 量守恒定律所要求的f(r)的表达式及流函数和速度位。
解 由二维不可压流动的质量守恒定律的数学表达式
可得
div 0
dvr 1 vr 0 dr r
积分后得vr的解为
极坐标系中
k vr r
2v 2k , k
1.迹线 流场中标定的运动流体质点在一段时间内所经过的所有空间点的集合，称为 该流体质点的迹线。 2.流线 流线特征： (1)通过空间固定点流线的形状，在定常流场中不随时间变化;而在 非 定常流场中，要随时间变化.这是由于非定常流场中流体质点速度随时间 改变。所以在瞬时t2通过流场空间点1的速度矢量将改变为v’1，按流 线的定义，t2瞬时流过点1的流线将改变为s’.见图2-1(b)。 (2)定常流场中经过某一点的流线和经过该点流体质点的迹线重合。
2.2.2 散度、旋度和速度位
在流体力学中，定义各速度分量在其分量方向上的方向导数之和为速度矢 量的散度，即
vx v y vz div x y z
由式(2-6)可知，速度的散度的物理意义是标定流体微团在运动过程中的相 对体积变化率.下面我们从通过空间某一个固定的控制面的体积流量来分析 速度的散度的含义. 旋度定义为旋转角速度的两倍,即
v y
该流动为有旋流动，即不存在速度位函数φ，这与前面 的结论相符.该流动称为平面Couette流动。
2.3 连续方程和流函数
2.3.1 连续方程
流体在运动时，应服从一条普遍规律.即质量守恒定律.这条定理在空气动力学中 的数学表达式称为连续方程或质量方程. 矢量表达形式 另一形式
div( ) 0 t vx v y vz d ( )0 dt x y z
2.1 流场的描述方法
用欧拉法描述流体运动，流场中不同空间点处的运动参数一 般是不同的，且在同一空间点处，不同时刻的运动参数一般也是 不同的，所以流场中的运动参数应是空间点坐标(x,y,z)和时间t 的函数，以流场中速度分布为例，即
v v ( x, y , z , t ) 或 vx v x ( x, y , z , t ) v y v y ( x, y , z , t ) v z v z ( x, y , z , t )
2.1 流场的描述方法
流体力学中描述流体运动的两种方法： 拉格朗日法：其着眼点是流体的质点。即研究流 场各个质点的运动参数随时间的变化规律和运动轨迹。 综合所有流体质点运动参数的变化，便得到整个流场 的运动规律。 欧拉法：其着眼点是流场中的空间点。即研究流 体质点通过空间固定点时，运动参数随时间的变化规 律。综合流场中所有空间点处运动参数的变化情况， 就得到整个流场的运动规律。需要指出的是，不要把 空间点与流体质点相混淆。流体运动时，同一空间点 在不同时刻由不同的流体质点占据，其上的运动参数 为占据该空间点的流体质点的运动参数。 空气动力学中，广泛采用的是欧拉法。
由流线上任意点的速度矢量与流线相切这一性质.可以求出流线的微分方程。 如图2-3所示，设在流线上某点M(x,y,z)处的速度为v(其分量为vx,vy,vz)，M点 的流线微段长ds(其分量为 x , y ,)z ，根据流线的定义可知ds与各坐标 轴的夹角同速度与相应坐标轴的夹角相同，因而相应的夹角余弦必相等,即
vx dx cos v, i v ds v y dy cos v, j v ds vz dz cos v, k v ds
式中I,j,k分别为x,y,z方向上的单位矢 量,由式(2-4)可求出
dx dy dz vx v y vz
目

录
2.1 流场
2.1.1 流场及其描述方法
2.1.2
迹线、流线和流管

2.2 流体微团运动的分析
2.2.1 2.2.2 微团运动的分析 散度、旋度和速度位

2.3 连续方程和流函数
2.3.1 2.3.2 连续方程 流函数
目

录
2.4 旋涡运动
2.4.1 涡线、涡管及旋涡强度 2.4.2 速度环量;斯托克斯定理 2.4.3 直线涡的诱导速度及毕奥-萨瓦定律 2.4.4 海姆霍兹旋涡定理
dx dy dz vx , v y , vz 所以上式可写成 由于 dt dt dt
vx vx vx vx ax vx vy vz t x y z v y v y v y v y ay vx vy vz t x y z vz vz vz vz az vx vy vz t x y z
dx dy x y
即
积分后可得
ln xy C1 xy C (常数)
将P点坐标代入上式，定出C=2。 最后可得通过P点的流线为xy=2. 可见流线是等边双曲线，以x,y轴 为渐近线，若以x,y 轴同时当做 固壁，且只研究在第一象限的流 动，上述流动为直角内的流动， 见图2-4。
2.2 流体微团运动的分析
第 二 章
流体运动学和动力学基础
引
言
本章将简要讨论二维、三维流动的各流动参数之 间的关系式，通过流体微团运动的分析，研究其旋转 运动和旋涡运动，以及流动所要遵循的质量守恒法则。 对旋涡运动的研究.为今后进一步研究飞机的气动力 特性提供必要的基础;对无旋运动的研究，建立起速 度位函数的概念，为理论上计算飞机空气动力提供一 些基础知识。然后，应用牛顿第二定理对流体微团和 控制区内流体的动力学问题进行了分析研究。
对于定常不可压流体的极坐标方程
v vr 1 v ( r ) z 0 r r z
2.3.2 流函数
对于二维定常不可压缩流动，连续方程式(2-21)可写为
vx v y 0 x y
由高等数学可知式(2-22)表明是某一函数φ的全微分，即
又 故有
d dy dx y x
2 2
图2-9 流场中的流线和等位线
例2-3 有一二维流动，其流线族为圆心在原点的一系列同 k 心圆，即vr 0, v .求流场的速度位函数φ.(k为常数) r 1 v , v , v 解 假定流场存在速度位φ，应用式 r 分别对 z r r z r,θ进行积分,得
上式就是流线的微分方程式.当速度 分布为已知时,根据式(2-5)可求出流 场中通过任意点流线的形状.
图2-1I流场中的流线 (a)l1瞬时过点1的流线 (b)l2瞬时过点1的流线
例2-1 已知二维定常不可压流动的速度分布为vx=ax, vy=-ay，a为常数，求通过点P(2，1)的流线方程。
解 由式(2-5)得流线 的微分方程
vx y , vy x
d vx dy v y dx
函数φ(x,y)称为流函数.
例2-5 已知一二维均匀直线流动,vx=A,vy=B。A,B为常数， 求流场的流函数及速度位.