1．1.3 导数的几何意义
【学习目标】理解曲线的切线的概念, 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题
【重点难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义
一、自主学习
要点1导数的几何意义
f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的相应的切线方程为：
要点2导数的物理意义
指如果物体运动的规律是s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度即为v＝
要点3导函数
y＝f(x)的导函数(导数)是f′(x)＝y′＝.
试一试
1．f(x)在点x0处的导数f′(x0)与函数f(x)的导数f′(x)有何区别？
二、合作，探究，展示，点评
题型一求曲线上某点处的切线方程
例1求曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点(1,4)处的切线方程．
思考题1已知曲线y＝x＋1
x上一点A(2，
5
2)．求：
(1)在点A处的切线的斜率；(2)在点A处的切线方程．
例2曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在？若存在，求其方程．思考题2曲线y＝
1
x在(1,1)处的切线斜率为___ _____，切线倾斜角为________．
题型二求过某点的切线方程
例3求抛物线y＝－3x2＋1过点P(1，－1)的切线方程．
思考题3求抛物线y＝x2过点(
5
2，6)的切线方程．
题型三求导函数
例4求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)的导数．
思考题4函数f(x)＝
1
x的导数为()
A.
1
x B．1 C.
1
x2D．－
1
x2
题型四求过某一点处的导数
例5求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
思考题5 已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.
三、知识小结
1．位移的导数是速度．速度的导数是加速度．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
3．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝x在x＝0处有切线，但它不可导．
《导数的概念》课时作业
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则lim
Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)
Δx＝()
A．11 B．－11 C.1
11D．－1
11
2．函数f(x)在x＝0可导，则lim
h→a f(h)－f(a)
h－a
＝()
A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h)
3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim
Δx→0Δy
Δx＝()
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋Δx2
4．设f(x)为可导函数，且满足lim
x→0f(1)－f(1－2x)
2x＝－1，则f′(1)的值为()
A．2 B．－1 C．1 D．－2
二、填空题
5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．
6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
8．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t的值为________．9．已知f(x)＝
1
x，则lim
Δx→0
f(2＋Δx)－f(2)
Δx的值是________．
10.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；lim
Δx→0
f(1＋Δx)－f(1)
Δx＝______.
三、解答题
11．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
12．某物体运动规律是S＝t2－4t＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?
13．若f′(x0)＝2，求li m
k→0
f(x0－k)－f(x0)
2k的值．
14．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) s＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧3t2＋2(t≥3)，①
29＋3(t－3)2(0≤t<3).②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．。