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北京第十八中学数学一元一次方程单元培优测试卷

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)1.如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=20,(1)写出数轴上点B表示的数________;(2)|5-3|表示5与3之差的绝对值,实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离.如|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.试探索:①:若|x-8|=2,则x =________.②:|x+12|+|x-8|的最小值为________.(3)动点P从O点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.当t=________,A,P两点之间的距离为2;(4)动点P,Q分别从O,B两点,同时出发,点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动,Q点以P点速度的两倍,沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.当t=________,P,Q之间的距离为4.【答案】(1)﹣12(2)6或10;0(3)1.2或2(4)3.2或1.6【解析】【解答】(1)数轴上B表示的数为8-20=﹣12;(2)①因为互为相反数的两个数绝对值相同,所以由│x-8│=2可得x-8=2或﹣(x-8)=2,解得x=6或10;②因为绝对值最小的数是0,所以│x+12│+│x-8│的最小值是0;(3)根据│A点在数轴上的位置-t秒后P点在数轴上的位置│=A、P两点间的距离列式得│8-5t│=2,因为互为相反数的两个数绝对值相同,所以8-5t=2或﹣(8-5t)=2,解得t=1.2或2;(4)根据t秒后Q点在数轴上的位置-t秒后P点在数轴上的位置│=t秒后P,Q的距离列式得│﹣12+10t-5t│=4,因为互为相反数的两个数绝对值相同,所以﹣12+10t-5t=4或﹣(﹣12+10t-5t)=4,解得t=3.2或1.6.【分析】(1)抓住已知条件:B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=20,且点A表示的数是8,就可求出OB的长,从而可得出点B表示的数。

(2)①根据|x-8|=2,可得出x-8=±2,解方程即可求出x的值;根据因为绝对值最小的数是0,因此可得出│x+12│+│x-8│的最小值是0。

(3)根据A,P两点之间的距离为2,可列出方程│8-5t│=2,再解方程求出t的值。

(4)根据t秒后Q点在数轴上的位置-t秒后P点在数轴上的位置│=t秒后P,Q的距离,可得出方程│﹣12+10t-5t│=4,再利用绝对值等于4的是为±4,可列出﹣12+10t-5t=±4,解方程求出t的值即可。

2.如图,数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b,且(a+5)2+|b﹣7|=0.(1)求 a,b;A、B 两点之间的距离.(2)有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度,然后在新的位置第二次运动,向右运动2个单位长度,在此位置第三次运动,向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动,当运动到 2019次时,求点P所对应的数.(3)在(2)的条件下,点P在某次运动时恰好到达某一个位置,使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍?请直接写出此时点 P所对应的数,并分别写出是第几次运动.【答案】(1)解:∵(a+5)2+|b﹣7|=0,∴a+5=0,b﹣7=0,∴a=﹣5,b=7;∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12;(2)解:设向左运动记为负数,向右运动记为正数,依题意得:﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015.答:点P所对应的数为﹣1015(3)解:设点P对应的有理数的值为x,①当点P在点A的左侧时:PA=﹣5﹣x,PB=7﹣x,依题意得:7﹣x=3(﹣5﹣x),解得:x=﹣11;②当点P在点A和点B之间时:PA=x﹣(﹣5)=x+5,PB=7﹣x,依题意得:7﹣x=3(x+5),解得:x=﹣2;③当点P在点B的右侧时:PA=x﹣(﹣5)=x+5,PB=x﹣7,依题意得:x﹣7=3(x+5),解得:x=﹣11,这与点P在点B的右侧(即 x>7)矛盾,故舍去.综上所述,点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2.所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置.【解析】【分析】(1)由绝对值和平方的非负性可得a与b的值,相减得两点间的距离。

(2)设向左运动记为负数,向右运动记为正数,并在-5的基础上把得到的数据相加即可。

(3)设点P对应的有理数的值为x,分别表示PA和PB的长,列方程求解即可。

3.先阅读下列解题过程,然后解答问题⑴、⑵,解方程:。

解:①当3x≥0时,原方程可化为一元一次方程3x=1,它的解是;②当3x≤0时,原方程可化为一元一次方程-3x=1,它的解是。

(1)请你根据以上理解,解方程:;(2)探究:当b为何值时,方程,①无解;②只有一个解;③有两个解。

【答案】(1)解:当x−3≥0时,原方程可化为一元一次方程为2(x−3)+5=13,方程的解是x=7;②当x−3<0时,原方程可化为一元一次方程为2(3−x)+5=13,方程的解是x=−1(2)解:∵|x−2|≥0,∴当b+1<0,即b<−1时,方程无解;当b+1=0,即b=−1时,方程只有一个解;当b+1>0,即b>−1时,方程有两个解【解析】【分析】(1)当x−3≥0时,得出方程为2(x−3)+5=13,求出方程的解即可;当x−3<0时,得出方程为2(3−x)+5=13,求出方程的解即可;(2)根据绝对值具有非负性得出|x−2|≥0,分别求出b+1<0,b+1=0,b+1>0的值,即可求出答案.4.已知有理数,定义一种新运算:⊙ =(a+1).如:⊙ =(2+1)(1)计算(-3)⊙的值;(2)若⊙(-4)=6,求的值.【答案】(1)解:∵⊙ =(a+1),∴(-3)⊙ = ,= ,= ,= ;(2)解:∵⊙(-4)=6,∴,即,解得 .【解析】【分析】(1)根据⊙ =(a+1),直接代入计算即可;(2)根据新定义可得方程,解方程即可.5.一根长80厘米的弹簧,一端固定,如果另一端挂上物体,那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米。

(1)正常情况下,当挂着千克的物体时,弹簧的长度是多少厘米?(2)正常情况下,当挂物体的质量为6千克时,弹簧的长度是多少厘米?(3)正常情况下,当弹簧的长度是120厘米时,所挂物体的质量是多少千克?(4)如果弹簧的长度超过了150厘米时,弹簧就失去弹性,问此弹簧能否挂质量为40千克的物体?为什么?【答案】(1)解:由题意得:y=80+2x,答:弹簧的长度是(80+2x)厘米(2)解:∵y=80+2x,∴当x=6时,y=80+2×6=92,答:弹簧的长度是92厘米(3)解:∵y=80+2x,∴当y=120时,120=80+2x,∴x=20,答:所挂物体的质量是20千克。

(4)解:∵y=80+2x,∴当x=40时,y=80+2×40=160(厘米)>150(厘米)∴此弹簧不能挂质量为40千克的物体.【解析】【分析】(1)由题意,物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米,于是可知物体的质量与弹簧的长度有关系.弹簧的长度=弹簧的原长+伸长的长度;弹簧伸长的长度=物体的质量×2厘米;根据这个关系可求解;(2)把x=6代入(1)中的关系式计算即可求解;(3)把y=120代入(1)中的关系式计算即可求解;(4)同理可求解.6.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品若干袋,用以检测每袋的质量是否符合标准,超过或不足标准质量的部分用正数或负数来表示(单位:克),记录如下表:袋数2132●合计与标准质量的差值+0.5+0.8+0.6﹣0.4﹣0.7+1.4(2)若每袋的标准质量为50克,每克的生产成本2元,求这批样品的总成本.【答案】(1)解:设被墨水涂污了的数据为x,则0.5×2+0.8×1+0.6×3+(﹣0.4)×2+(﹣0.7)x=1.4,解得:x=2,故这个数据为2(2)解:[50+1.4÷(2+1+3+2+2)]×(2+1+3+2+2)×2=1002.8元,答:这批样品的总成本是1002.8元【解析】【分析】(1)设被墨水涂污了的数据为x,根据题意列方程,即可得到结论;(2)根据题意计算计算即可.7.国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是:稿费不高于800元的不纳税;稿费高于800元,而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的的税;稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的的税.试根据上述纳税的计算方法作答:(1)若王老师获得的稿费为2000元,则应纳税________元,若王老师获得的稿费为5000元,则应纳税________元(2)若王老师获稿费后纳税280元,求这笔稿费是多少元?【答案】(1)168;550(2)解:因为当稿费为4000元时,纳税=4000×11%=440(元),且280<440,所以王老师的这笔稿税高于800元,且低于4000元.设王老师的这笔稿税为x元,根据题意,14%(x-800)=280x=2800,答:王老师的这笔稿税为2800元.【解析】【解答】解:(1)①∵800<2400<4000,∴当王老师获得稿费为2000元时,应纳税:(2000-800)×14%=168(元);②当王老师获得稿费为5000元时,应纳税:5000×11%=550(元);【分析】(1)根据条件②计算即可;根据条件③计算即可;(2)设王老师所获得的这笔稿费为元,根据纳税金额,可判断稿费800<x<4000,属于第二种,利用稿费420元,列出方程,求出x值即可.8.仔细阅读下列材料.“分数均可化为有限小数或无限循环小数”,反之,“有限小数或无限小数均可化为分数”.例如: =1÷4=0.25; = =8÷5=1.6; =1÷3= ,反之,0.25= = ;1.6= = =.那么,怎么化成分数呢?解:∵ ×10=3+ ,∴不妨设 =x,则上式变为10x=3+x,解得x= ,即 = ;∵ = ,设 =x,则上式变为100x=2+x,解得x= ,∴ = =1+x=1+ =(1)将分数化为小数: =________, =________;(2)将小数化为分数:=________;=________。

(3)将小数化为分数,需要写出推理过程.【答案】(1)1.8;(2);(3)解:设 =x,则100x=95+x,解得:x= =1+ =【解析】【解答】(1)9÷5=1.8,22÷7= ;(2)设0. x,根据题意得:10x=5+x,解得:x ;设0. x,则10x=6+x,解得:x ..故答案为:.【分析】(1)由已学过的知识可知:分数均可化为有限小数或无限循环小数;是一个有限小数,是一个无限循环小数;(2)由阅读材料可求解;(3)由阅读材料可知,设循环节为x,即 =x,由材料可得方程 100x=95+x,解方程即可求解。

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