2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
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克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
。 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ t 2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程 。
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
先求解时变点电荷的矢量位，再利用叠加原
理导出分布的时变体电荷的矢量位。
z
(r, t) r
当时变点电荷位于坐标原点
时，其场分布与 及 无关。那
么，在除坐标原点以外整个无源
O
y 空间，位函数 满足的方程式为
x
2 ( r) 1 2 ( r)
可见函数 f1 为
(r) dV 4π r
f1 t
r v
t
r v
4π
dV
因此位于原点的时变点电荷的标量位为
d
(r,
t)
t
r v
dV
4π r
式中 r 为体元 dV 至场点的距离。
z
r,t r r
v
位于 V 中的体电荷 在 r 处产生的电位为
r'
dV'
V' r
r' - r
(r, t) 1 (r, t) 4π
V
��r ,t r r
v
� r r
� � � V
d
O
y
x
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位
A 各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式
即，
2 A
2 Ax
x
t 2
Jx
2 Ay
2 Ay t 2
J y
2 Az
z2 A
t 2
J
z
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢
量位 A 的解为
为一个标量场
的A梯t 度，为示即无旋场。因此可以表
E A
t
式中 称为标量位。求得
E A
t
当 A 与时间无关时
E
B A
因此，标量位 – 标量电位；矢量位 A – 矢量磁位。
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
A
J
2 A t 2
t
At
再利用矢量恒等式 A ，上 A两式2又A可表 示为
t 2
场与源的关系比较复杂。
引入标量位与矢量位作为两个辅助函数 , 可以简 化时变电磁场的求解。
已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度。
即
B A
式中， A 称为矢量位。
将上式代入式 E B 中，
得
t
E ( A)
t
上式又可改写为
E
A t
0
可见，矢量场 E