v v v v 求： r4 = ar1 + br2 + cr3 中的标量 a、b、c。
ˆ ˆ ˆ 解： 3ax + 2a y + 5az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = a(2ax − a y + az ) + b(ax + 3a y − 2az ) + c(−2ax + a y − 3az )
v v A = AeA
有
v v deA dA dA v = eA + A dt dt dt
(b)
矢量的积分
的积分： （1）对时间 t 的积分： ）
∫
t2
t1
v v t2 v v Adt = ∫ ( Ax i + Ay j + Az k )dt
t1
= (∫
t2
t1
v t2 t2 v v Ax dt )i + ( ∫ Ay dt ) j + ( ∫ Az dt )k
作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量： 作为 式的特例，对直角坐标下的矢量： 式的特例
v v v v A = Ax i + Ay j + Az k
有
v dA dAx v dAy v dAz v = i+ j+ k dt dt dt dt
作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量： 作为 式的例子，在球坐标下的矢量： 式的例子
ϕ
v C
θ
v B
v v v v v v v v v V = A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B) = B ⋅ (C × A)
v v v h = B×C v
注意：先后轮换次序。 注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。 推论：三个非零矢量共面的条件。
v v v A ⋅ (B × C) = 0
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A×B = (Aax + Ayay + Aaz )×(Bxax + Byay + Baz ) x z z
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )ay + ( Ax By − Ay Bx )az
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 标量积（点积）： a. 标量积（点积）： v v v v A ⋅ B =| A | ⋅ | B | cos θ
v B
θ
v A
两矢量的点积含义： 两矢量的点积含义： 含义 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。 其结果是一标量。
t1 t1
的线积分： （2）沿曲线 s 的线积分： ）
∫
s
v v v v v v v v A ds = ∫ ( Ax i + Ay j + Az k ) (dxi + dyj + dzk )
s
= ∫ Ax dx + ∫ Ay dy + ∫ Az dz
x1 y1 z1
x2
y2
z2
例2：设
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r1 = 2ax − a y + az , r2 = ax + 3a y − 2az v v ˆ x + a y − 3az , r4 = 3ax + 2a y + 5az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r3 = −2a
v 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 其中：| A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
ˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1 a 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则 平行四边形规则。 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则 加法
v B
v C
v v v C = A+ B
v C
v B
v A
⇒
v A
v v v v a.满足交换律 满足交换律： a.满足交换律 A + B = B + A
v v v v v v v v b.满足结合律 ( A + B) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D) b.满足结合律： 满足结合律
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
有两矢量点积： 有两矢量点积：
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A ⋅ B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) ⋅ ( Bx ax + By a y + Bz az )
v v A × B = Ax Bx
ˆ ax
ˆ ay Ay ByFra bibliotekˆ az Az Bz
（3）三重积： 三重积： 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v 标量，标量三重积。 A ⋅ ( B × C ) 标量，标量三重积。 v v v 矢量，矢量三重积。 A × ( B × C ) 矢量，矢量三重积。
ˆ ˆ ˆ = (2a + b − 2c )ax + (− a + 3b + c)a y + (a − 2b − 3c)az
则： 2 a + b − 2 c = 3
a = −2 b =1 c = −3
− a + 3b + c = 2 a − 2 b − 3c = 5
v 例3： 已知 A = 2 a x − 6 a y − 3a z ˆ ˆ ˆ
v 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az 所以 ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ 矢量： 矢量： A = Ax ax + Ay a y + Az az
z
v Az
v A
模的计算： 模的计算： 单位矢量： 单位矢量：
v 2 | A |= Ax2 + Ay + Az2
v Ay Ax A A ˆ ˆ ˆ ˆ a = v = v a x + v a y + vz a z | A| | A| | A| | A|
v v v v v v 推论3 不服从结合律： 推论3：不服从结合律： A× (B × C) ≠ ( A× B) × C
v B θ v A
推论4 当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
Cx
v v v v v v v v v b.矢量三重积 b.矢量三重积： A × ( B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B) 矢量三重积
4. 矢量的微积分 (a) 矢量的微分 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可： 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
v v d v v dA dB (1) ( A + B) = + dt dt dt v v d [ f (t ) A] df (t ) v dA (2) = A + f (t ) dt dt dt v v v dB dA v d v v B (3) ( A B) = A + dt dt dt v v v dB dA v d v v (4) ( A × B) = A × + ×B dt dt dt
第0章 矢量分析基础
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 标量 如：温度 T、长度 L 等 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 矢量 v v v 如:力 F、速度 、电场 等 v E v v v ˆ ˆ A = A a = Aa = Ae A 矢量表示为 表示为： 矢量表示为：
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
v v v v v v 定义： 定义 A ⋅ ( B × C ) =| A || B || C | sin θ cos ϕ
v v v h = B ×C v
A
含义： 含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。
v v ˆ ˆ ˆ A − B = ( Ax − Bx ) ax + ( Ay − By )ay + ( Az − Bz ) az
3.乘法： 3.乘法： 乘法 （1）标量与矢量的乘积： 标量与矢量的乘积：
v v ˆ kA = k | A | a k > 0 方向不变，大小为|k|倍 k =0 k < 0 方向相反，大小为|k|倍
A
v v v v v D = A − B = A + (− B)
⇒
v −B
v B
v B
v C
v B
v A
v v v A+ B +C = 0
推论： 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算： 在直角坐标系中两矢量的减法运算：