八年级数学二次根式专项训练专训1.常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．(第1题)公式法2．计算：(5＋6)×(52－23)．拆项法3．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]换元法4．已知n＝2＋1，求n＋2＋n2－4n＋2－n2－4＋n＋2－n2－4n＋2＋n2－4的值．整体代入法5．已知x＝13－22，y＝13＋22，求xy＋yx－4的值．因式分解法6．计算：2＋32＋6＋10＋15. 配方法7．若a，b为实数，且b＝3－5a＋5a－3＋15，试求ba＋ab＋2－b a ＋ab－2的值．辅元法8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x＋yx＋z＋x＋2y的值．先判后算法9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ba＋aab的值．专训2.二次根式运算常见的题型名师点金：进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．利用运算法则进行计算1．计算：(1)(5－1)(5＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8； (2)(2－3)2 016·(2＋3)2 017－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32.利用公式进行计算2．计算：(1)(3－1)2＋(3＋2)2－2(3－1)(3＋2)；(2)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (3)a a －ab a －ab －a －b a ＋b .利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值3．已知5＋3和5－3的小数部分分别为a ，b ，试求代数式ab －a ＋4b －3的值．利用化简求值 4．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＋1÷a a 2＋2a ＋1，其中a ＝32.利用整体思想巧求值 5．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值6．已知a ，b 是正整数，且a ＋b ＝ 1 998，求a ＋b 的值．答案专训1 1.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7.2．解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3]＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.3．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋ 3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3 ＝6－ 2.4．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4，则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n.当n＝2＋1时，原式＝2＋1.5．解：由已知得：x＝3＋22，y＝3－22，所以x＋y＝6，xy＝1，所以原式＝x2＋y2－4xyxy＝（x＋y）2－6xyxy＝30.6．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－25－2＝5－23.7．解：由二次根式的定义，得⎩⎨⎧3－5a≥0，5a－3≥0，∴3－5a＝0，∴a＝35.∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.∴ba＋ab＋2－ba＋ab－2＝（a＋b）2ab－（a－b）2ab＝a＋babab－b－a abab＝(a＋bab－b－aab)ab＝2bab.当a＝35，b＝15时，原式＝215×35×15＝25.方法点拨：对于形如ba＋ab＋2或ba＋ab－2的代数式一般要变为（a＋b）2ab或（a－b）2ab的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a＋b和a－b以及ab的符号．8．解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，∴原式＝3k4k＋5k＝32＋5＝15－2 3.9．解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴b b a ＋a a b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab＝－36－105＝－265＝－2655. 点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．专训21．解：(1)原式＝4－9＋2－1－1＋22＝－7＋3 2.(2)原式＝[(2－3)(2＋3)]2 016·(2＋3)－2×32＝2＋3－3＝2. 2．解：(1)原式＝[(3－1)－(3＋2)]2＝(3－1－3－2)2＝9. (2)原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)×(2＋3－5－2＋3－5)＝22×(23－25)＝46－410.(3)原式＝a （a －b ）a （a －b ）－（a ＋b ）（a －b ）a ＋b ＝a －(a －b)＝a －a ＋b ＝ b.点拨：在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式(如(1))和分解因式(如(2)(3))可简化计算过程3．思路导引：先明确3的整数部分是1，然后再表示出5±3的整数部分，再由5＋3＝6＋a ，5－3＝3＋b 可求得a ，b 的值，最后代入求值即可．解：∵3的整数部分为1，∴5＋3＝6＋a ，5－3＝3＋b ，即a ＝3－1，b ＝2－ 3.∴ab －a ＋4b －3＝(3－1)(2－3)－(3－1)＋4×(2－3)－3＝－5＋33－3＋1＋8－43－3＝1－2 3.方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即由n ≤a<n ＋1可以确定a 的整数部分为n ，小数部分为a －n.4．思路导引：先化简分式，然后将a 的值代入，利用二次根式的运算法则求出分式的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＋1÷a a 2＋2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1－1a ＋1·（a ＋1）2a ＝a a ＋1·（a ＋1）2a ＝a ＋1.把a ＝32代入，得原式＝32＋1＝3＋22. 5．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22， xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2. 6．思路导引：先将 1 998化成最简二次根式，由题意可知a ，b ， 1 998是可以合并的二次根式，可设出a ，b ，然后代入求解．解：由a ＋b ＝ 1 998可知a ，b ， 1 998是可以合并的二次根式． ∵ 1 998＝9×222＝3222，故可设a ＝m 222，b ＝n 222，则m 222＋n 222＝3222， 即(m ＋n)222＝3222，∴m ＋n ＝3.又∵m ，n 是正整数，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝222，b ＝888或⎩⎨⎧a ＝888，b ＝222.∴a ＋b ＝1 110.点拨：本题容易产生的第一想法是把a ＋b ＝ 1 998两边平方，这样虽然能够得到a ＋b ，但等式中增加了ab ，同样不能求出结果，故只能根据“若x ＋y ＝z ，则x ，y ，z 是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．。