例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。

解 原方程可以写成ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。

进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。

试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。

用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。

由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。

下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。

作用在这段弧上的力有张力和外力。

可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx x x ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。

于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。

因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。

于是，张力是一个与位置x 和时间t 无关的常数，仍记为T. 作用于小弧段'MM 的张力沿u 轴方向的分量为Tsin α’-T sin α≈T(u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)).设作用在该段弧上的外力密度函数为F （x,t ）那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向的外力近似的等于F(x,t)x ∆.由牛顿第二定律得T （u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ∆=ρx ∆tt u , 其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。

这里tt u 是加速度tt u 在弧段'MM 上的平均值。

设u=u(x,t)二次连续可微。

由微分中值定理得Tu zz （x+θx ∆，t)x ∆+F(x,t)x ∆=ρtt u x ∆, 0<θ<1.消去x ∆，并取极限x ∆→0得Tu xx （x,t ）+F(x,t)=ρu tt ,即u tt =ɑ2u xx +ƒ(x,t), 0<x<L,t>0,其中常数ɑ2=T/ρ，函数ƒ（x,t ）=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。

上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。

当外力作用为零时，即ƒ=0时，方程称为弦的自由横振动方程。

类似地，有二维波动方程u tt =ɑ2（u xx +u y y ）+ƒ（x.y.t ）, (x,y)Ω∈,t>0,电场E 和磁场H 满足三维波动方程 E c E 2222t ∇=∂∂和H c H 2222t∇=∂∂, 其中c 是光速和2222222x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇⋅∇=∇。

例1.2.2设物体Ω在内无热源。

在Ω中任取一闭曲面S （图1.2）。

以函数u(x,y,z,t)表示物体在t 时刻，M=M(x,y,z)处的温度。

根据Fourier 热传导定律，在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt ，曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比，即dSdt n u k -∂∂,其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。

我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。

上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。

故当0n u >∂∂时，热量实际上是向-n 方向流去。

对于Ω内任一封闭曲面S ，设其所包围的空间区域为V ，那从时刻t 1到时刻t 2经曲面流出的热量为1Q =dSdt nu kS ⎰⎰⎰∂∂21t t - 设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V 内，温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)所需的热量为[]dvdt tu c dv t z y x u t z y x u c t t V V ∂∂=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21),,,(),,,(Q 122ρρ. 根据热量守恒定律，有12Q Q -=即[]dSst nu kdv t z y x u t z y x t t S ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=-21),,,(),,,u c 12V （ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得0][21t =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V ρ. 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t ，在Ω内任意一点都有⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u k z y u k y y u k y x u ρc(1.2.6)设弦在x 0点受到横向力T 作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为 hx, 0≤x ≤x 0,u(x,0)= x 0h(L-x), x 0≤x ≤L,L-x 0其中h 待求。

由牛顿第二定律得F-Tsin α1-Tsin α2=0， 在微小振动的情况下，Sin α1≈tan α1= h , sin α2≈tan α2= h ,x 0 L-x 0 所以 F=Th +Thx 0 L-x 0因此 h=Fx 0(L-x 0) .TL F(L-x 0) , 0≤x ≤x 0,从而初始位移为u(x,0)= TL Fx 0(L-x) , x 0≤x ≤L. TL 而初始速度u t (x,0)=0. u tt =a 2u xx , 0<x<L,t>0,u(x,0)=Lb x, u t （x,0)=0, 0≤x ≤L, u(0,t)=0, u x (L,t)=0, t ≥0.（P17）例1.3.2 ：长为L 的均匀弦，两端x=0和x=L 固定，弦中张力为T ，在x=x0处以横向力F 拉弦，达到稳定后放手任其振动。

试写出初始条件。

解：建立如图坐标系。

(P18)例1.3.3考虑长为L 的均匀细杆的热传导问题。

若（1）杆的两端保持零度；（2）杆的两端绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热。

试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。

解：设杆的温度为u(x,t),则（1） u （x,t ）=0，u(L,t)=0.（2） 当沿杆长方向有热量流动时，由Fourier 实验定律得L x x x uk q x uk q ==∂∂-=∂∂=201,'其中q1,q2分别为x=0和x=L 处的热流强度。

而杆的两端绝热，这就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦没有热量的流动，故有q1=q2=0和,0),0(=t x u 0),(=t L u x . (3)显然，此时有0),(,0),0(==t L u t u x .例1.5.1求Poisson 方程Uxx +Uyy =X^2 +XY+Y^2的通解解:先求出方程的一个特解V=V （x ，y),使其满足Vxx +Vyy=X^2 +XY+Y^2 由于方程右端是一个二元二次齐次多项式，可设V （x ，y) 具有形式V(x,y)=aX^4 +bX^3 Y+cY^4,其中a,b,c 是待定常数Vx=4aX^3+3bX^2 Y Vy=bX^3+4cY^3Vxx=12aX^2+6bXY Vyy=12cY^2得Vxx+Vyy=12aX^2 +6bXY+12cY^2=X^2 +XY+Y^2比较两边系数，可得a=1/12,b=1/6,c=1/12于是V （x,y)=1/12(X^4 +2X^3 Y+Y^4）下面求函数W=W(x,y),使其满足Wxx+Wyy=0.作变量代换e=x,n=iy(记为d)Ue=du/de=du/dx=Ux Un=du/dn=du/dy *dy/dn=-iyUee=dUe/de=Uxx Unn=-Uyy可得Wee-Wnn=0再作变量代换s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+Ut Un=du/dn=Us-UtUee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2UstUnn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust那么方程进一步化为Wst=0其通解为W=f(s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中f,g 是任意两个二阶可微函数。

那么根据叠加原理，方程的通解为u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X^4+2X^3 Y+Y^4)(P32)例2.1.1 判断方程U xx +2U xy -3U yy +2U x +6U y =0（2.1.22）的类型，并化简。

解： 因为a 11= 1,a 12= 1,a 22= -3,所以 =a 212-a 11a 22=4>0,故方程为双曲型方程。

对应的特征方程组为,311221112212=-+=a a a a a d d x y .111221112212-=--=a a a a a d d x y 该方程组的特征曲线（即通解）为.,321c x y c x y =+=-作自变量变换x y x y +=-=ηξ,3则;3ηξu u u xx +-= ,ηξu u u y +=,69ηηξηξξu u u u xx +-= ,23ηηξηξξu u u u xy +--= .2ηηξηξξu u u u yy ++=将上述各式带入方程（2.1.22），得第一种标准形式.021=-ηξηu u （2.1.23） 若令,2,2ηξηξ-=+=t s 则得到第二种标准形式.0=+--t s tt ss u u u u （2.1.24）下面对式（2.1.24）进一步化简。