第7讲函数与方程理清双基1．函数的零点（非点）（1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间],[b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是0)(=x f 的根。

2．二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象与零点的关系>∆0=∆0<∆二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点)0,)(0,(21x x )0,(1x 无交点零点个数21无3.二分法定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(<b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．步骤：第一步，确定区间[],[b a ，验证0)()(<b f a f ，给定精确度ε。

第二步，求区间),(b a 的中点1x 。

第三步，计算)(1x f ：①若0)(1=x f ，则1x 就是函数的零点；②若0)()(1<x f a f ，则令1x b =此时零点),(10x a x ∈；③若0)()(1<x f b f ，则令1x a =(此时零点),(10b x x ∈。

第四步，判断是否达到精确度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点近似值a (或b )。

否则重复第二、第三、第四步。

4.函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法又称双函数法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．③零点存在原理【考点分析】考点一判断函数零点所在的区间【例1】1、函数11ln 2)(-+=x x x f 的零点所在的大致区间是（）A ．)2,1(B ．)32(，C ．)43(，D ．)2,1(与)32(，2、已知函数545lg )(-+=x x x f 在区间))(1,(Z n n n ∈+上存在零点，则=n __________►归纳提升判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断。

强化训练1、函数3log )(3-+=x x x f 的零点一定在区间（）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)32(，D ．)43(，考点二判断函数零点的个数【例2】1、函数xx x f 2)(2-=在R x ∈上的零点的个数是()A．0B．1C．2D．32、已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，则函数1))((+=x f f y 的零点个数是()A．4B．3C．2D．13、已知)(x f y =是定义在R 上得奇函数，且满足)23()23(x f x f +=+-，当)23,0(∈x 时，)1ln()(2+-=x x x f ，则函数)(x f 是在区间]6,0[上的零点个数是（）►归纳提升判断函数零点个数的方法（1）解方程法：令0)(=x f ，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点。

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间],[b a 上是连续不断的曲线，且0)()(<b f a f ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题。

先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。

强化训练2（1）若函数)(x f y =满足)1()1(-=+x f x f ，且]1,1[-∈x 时，21)(x x f -=，函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,lg )(x xx x x g 则函数)()()(x g x f x h -=在区间]5,5[-∈x 内的零点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9（2）已知函数⎩⎨⎧≤>=,0,0,ln )(x e x x x f x，则函数2)(3)]([)(2+-=x f x f x g 的零点个数____考点三函数零点的应用【例3】1、设函数3ln )(,2)(2-+=-+=x x x g x e x f x。

若实数b a ,满足0)(,0)(==b g a f ，则()A ．)(0)(b f a g <<B ．)(0)(a g b f <<C ．)()(0b f a g <<D ．0)()(<<a g b f 2、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+=1,21,11)(x e x x x x f x，若函数)1()()(--=x m x f x g 有两个零点，则实数m 的取值范围是__________。

►归纳提升函数零点应用问题的常见类型及解题策略（1）已知函数零点求参数。

根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围。

（2）已知函数零点的个数求参数。

常利用数形结合法。

（3）借助函数零点比较大小。

要比较)(a f 与)(b f 的大小，通常先比较)(a f 、)(b f 与0的大小。

强化训练3（1）函数a xx f x--=22)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是()A ．)3,1(B ．)2,1(C ．)3,0(D ．)2,0(（2）已知关于x 的二次方程01222=+++m mx x .①若方程有两根，其中一根在区间)0,1(-内，另一根在区间)2,1(内，求m 的范围；②若方程两根均在区间)1,0(内，求m 的范围．（3）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧-=≠+=,1,1,1,|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()]([2=++c x bf x f 有且仅有三个不同的实数解321,,x x x ，则=++232221x x x A 、2222b b +B 、2223c c +C 、5D 、13【参考答案】【考点分析】考点一判断函数零点所在的区间【例1】1、法1、零点存在原理：0)3()2(<f f ，所以选B 法2、双函数法：)1ln(2011ln 2)(-=⇒=-+=x x x x x f ，作出函数xy 2=和)1ln(-=x y 图像。

即可选B2、解：利用双函数法：分别作出x y lg =和545+-=x y 函数图像。

交点在)4,3(之间，则=n 3强化训练1、解：选C考点二判断函数零点的个数【例2】1、解：利用双函数法：分别作出2x y =和xy 2=的图像，选D2、解：令)(x f t =，则1)(+=t f y 。

作出)(x f 的图像。

1)(-=t f 解得2-=t 或21=t ，利用双函数法得零点个数是43、解：)23()23(x f x f +=+-函数得周期为3=T ，当)23,0(∈x 时，令0)1ln()(2=+-=x x x f 解得0)4()1(==f f ，)(x f y =是定义在R 上得奇函数则)6()3(0)0(f f f ===，由)23()23(x f x f +=+-，令)23(23(0f f x =-⇒=，又因为奇函数，所以)29(0)23(f f ==，故零点个数是7.强化训练2解：由)1()1(-=+x f x f 得)(x f y =得周期为2=T ，分别在同一个坐标中作出)(x f y =和)(x g 得函数图像。

零点的个数为8（2）解：令)(x f t =，则023)(2=+-=t t t g 解得21==t t 或，作出)(x f 的图像，零点个数为3.考点三函数零点的应用【例3】1、解：作出2+-==x y e y x和的图像，找出a 值，在同一坐标中，作出xy ln =和32+-=x y 的图像，找出b 值。

由图像显然可知03ln )(2<-+=a a a g ，02)(>-+=b e b f b，故选A2、解：若函数)1()()(--=x m x f x g 有两个零点，则)(x f y =与)1(-=x m y 的图像有且仅有两个交点。

在同一坐标系中作出图像有图像可得，当0>m 时，满足条件；当1-=m 时直线)1(-=x m y 与)1(2≤-=x e y x的图像相切，可得当01<<-m 时，满足条件。

故),0()0,1(+∞-∈ m 。

强化训练3（1）解：零点存在原理：0)3)(()2()1(<--=a a f f 解得30<<a ，选C （2）解：①令122)(2+++=m mx x x f ，01222=+++m mx x 方程有两根，其中一根在区间)0,1(-内，另一根在区间)2,1(内，等价于)(x f 与x 轴的交点分别在)0,1(-和)2,1(，则满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-0)2(0)1(0)0(0)1(f f f f 解得2165-<<-m ②同理，方程两根均在区间)1,0(内需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+<-<>+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆042012100)12(440)1(0)0(12002m m m m m f f a b 解得2121-<<-m （3）解：作出)(x f 的图像可知，只有当1)(=x f 时，它有三个不等的实根，此时关于x 的方程0)()]([2=++c x bf x f 有且仅有三个不同的实数解分别为0,1,2--，所以5232221=++x x x。