课时作业(十一)
1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45
答案 B
解析 ∵a 2＋a 3＝13，∴2a 1＋3d ＝13.∵a 1＝2，∴d ＝3. 而a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝42.
2．在等差数列－5，－312，－2，－1
2，…中，每相邻两项之间插入一个数，
使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )
A ．an ＝34n －23
4
B ．an ＝－5－3
2(n －1)
C ．an ＝－5－3
4(n －1)
D ．an ＝5
4
n 2－3n
答案 A
解析 首项为－5，公差为－312＋52＝3
4，
∴an ＝－5＋(n －1)·34＝34n －23
4
.
3．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
答案 D
解析 ∵a 、b 、c 成等差，∴2b ＝a ＋c .
∴Δ＝(2b )2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.
4．数列{an }中，a 1＝15,3an ＋1＝3an －2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的是( )
A ．a 21和a 22
B ．a 22和a 23
C ．a 23和a 24
D ．a 24和a 25
答案 C
解析 由3an ＋1＝3an －2可知{an }为等差数列，又a 1＝15， ∴an ＝15＋(n －1)·(－23)＝－23n ＋473＝47－2n
3.
令an ·an ＋1<0，即47－2n 3·47－2n ＋1
3<0.
可得452<n <47
2
.又n ∈N *，
∴n ＝23.(或由a n ＞0，得n ≤23，∴a 23＞0，a 24＜0)
5．(2013·辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a n
n }是递增数列；
p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4
答案 D
解析 如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；
如数列为{1,2,3，…}，则a n
n
＝1，故p 3是假命题，故选D 项．
6．(2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.
答案 20
解析 因为数列{a n }为等差数列，
所以由等差数列的性质，得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝a 4＋a 7＝10. 所以3a 5＋a 7＝a 5＋2a 5＋a 7＝a 5＋a 4＋a 6＋a 7＝2×10＝20.
7．(2012·广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.
答案 2n －1
解析 设等差数列{a n }的公差为d (d >0)．
由a 3＝a 22－4，得a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－4，即1＋2d ＝(1＋d )2－4，d 2＝4.又{a n }是递增数列，∴d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.
8．在200到600之间，被5除余2的整数有______个． 答案 80
解析 由200≤5n ＋2≤600，得39.6≤n ≤119.6. ∴(119－40)＋1＝80.
9．已知数列{an }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1an ＋1}为等差数列，则an ＝
________.
答案 19－n n ＋5
解析 ∵
1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ，∴d ＝124
. ∴1a n ＋1＝1a 3＋1＋(n －3)d ＝n ＋524，∴a n ＝19－n
n ＋5
. 10．将等差数列2,7,12,17,22，…中的数按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，每页共15行，则数1 997应抄在第________页第________行第________个位置上.
答案
解析an＝5n－3，由5n－3＝1 997，得n＝400.
每页共12×15＝180个数，360＜400＜540.
又400－360＝40＝3×12＋4，
∴1 997应抄在第3页，第4行第4个位置上．
11．数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an>0，则an＝____________.
答案4n－3
12．在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.求数列{a n}的通项公式．解析因为{a n}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
设数列{a n}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
13．设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a20＝22，|a11|＝|a51|，求an.
解析设公差为d，∵a20＝22，|a11|＝|a51|，
∴|22－9d|＝|22＋31d|.
∵d≠0，∴22－9d＝－22－31d.
∴d＝－2，∴a1＝22－19×(－2)＝60.
∴an＝－2n＋62.
14．已知函数f(x)＝
3x
x＋3
，数列{x n}的通项由x n＝f(x n－1)(n≥2，且n∈N*)
确定．
(1)求证：{1
x n
}是等差数列；
(2)当x 1＝1
2
时，求x 100.
解析 (1)x n ＝f (x n －1)＝3x n －1
x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，
所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，
1
x n －1
x n －1＝1
3
(n ≥2，n ∈N *)． 所以{1x n
}是等差数列．
(2)由(1)知{1
x n }的公差为13.又因为x 1＝1
2
，
所以1
x n ＝1
x 1＋(n －1)×13，1x 100＝2＋(100－1)×13＝35.所以x 100＝1
35.
15．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4
a n －1
(n >1)，记b n ＝
1a n －2
. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解析 (1)证明 ∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1
a n －2
＝
1
4－4
a n
－2
－1a n －2＝a n 2a n －2－1a n －2 ＝
a n －22a n －2＝1
2
，
又∵b 1＝1a 1－2＝12
，
∴数列{b n }是首项为12，公差为1
2的等差数列．
(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝1
2n ，
∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2
n
＋2.。