课时作业(十五)
1．(2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24
答案 A
解析 由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.
2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 解析 依题意得
a 2 010a 2 007
＝q 3
＝8，q ＝2，选A. 3．在等比数列{a n }中，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4或4 D ．－8或8
答案 C
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )
A.13 B ．3 C ．±13
D ．±3 答案 B
5．如果a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，那么x 1＋x 2
y 1y 2
等
于( )
A.a ＋b a －b
B.b －a ab
C.ab a ＋b
D.a ＋b ab
答案 D
解析 x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1y 2＝ab .
6．两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是( )
A ．1312
B ．1114
C ．1012
D ．0
答案 B
解析 设 4个正数为3，a ，b,9，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝3
b ，
2b ＝9＋a ，
∴2a 2＝3(9＋a )，∴2a 2－3a －27＝0，(2a －9)(a ＋3)＝0. ∵a >0，∴2a －9＝0，a ＝92，∴b ＝274，∴a ＋b ＝45
4.
7．等比数列{an }的公比为2，则2a 1＋a 2
2a 3＋a 4的值为( )
A ．1 B.12 C.14 D.18
答案 C
解析
8．已知数列{a n}的前n项和Sn＝a n－1(a为不为零的常数)，那么{a n}( ) A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或是等差，或是等比数列
D．既不是等差，也不是等比数列
答案 C
解析若a＝1，则{a n}为等差数列；
若a≠1，则{a n}为等比数列．
9．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为________(用a，b表示)．
答案3b
a
10．在等比数列{an}中，若a4＝2，a7＝16，则an＝________. 答案2n－3
解析
答案 5 832
解析
答案等比；等差解析
13．若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是________．
答案 0
解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac (b ≠0)． 又Δ＝b 2－4ac ＝－3b 2<0，∴抛物线与x 轴无交点．
解析
15．一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3.试问－131
2是否为这个
数列中的一项？如果是，是它的第几项？如果不是，请说明理由．
思路分析 一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a 的值，要判断－131
2
是否为数列中的一项，就要求出通项公式再作出判断．
【解析】 ∵a,2a ＋2,3a ＋3是等比数列前三项，仍然构成等比数列． ∴a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1，或a ＝－4. 当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0.
与等比数列的定义矛盾，故将a ＝－1舍去．
当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9.则公比为q ＝3
2.
∴an ＝－4·(32
)n －1
.
令－4·(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3
，
∴n －1＝3，即n ＝4.∴－131
2
是这个数列第4项．
16．三个数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
思路分析 本题主要考查等比数列、等差数列、等比中项和等差中项，以及它们的应用．因为所求三个数成等差数列，其和已知，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据已知条件寻找关于a ，d 的方程，通过解方程组即可获解．
解析 设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，
a ＋2＝a －d ＋a ＋d ＋，
解得a ＝5，d ＝2或a ＝5，d ＝－10. 故所求三个数为3,5,7或15,5，－5. 17．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式．
答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝12n －28
解析
答案①、②、③、⑦、⑧、⑩为等比数列
1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N *)，那么数列{a n }( ) A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列 答案 D
解析 利用等比数列的概念判断．
由S n ＝p n (n ∈N *)，有a 1＝S 1＝p ，并且当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝(p －1)p n －1.故a 2＝(p －1)p .
因此数列{a n
}成等比数列⇔⎩⎪⎨⎪⎧
p ≠0，
p －1≠0，a
n a n －1
＝p
n
而a 2a 1＝p －
p
p
＝p －1.
故满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D.
讲评 (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{a n }成等比
数列的条件：a n ≠0(n ∈N *
)，还要注意对任意n ∈N *
，n ≥2，a n
a n －1
都为同一常数．
(2)判断{a n }是否为等比数列，由S n ＝p n 知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n
－1
＝(p －1)·p n －1，乍看只要p ≠0，p －1≠0就是等比数列，其实不然，因为a 1
＝S 1＝p ，并不满足a n ；故无论p 取何实数{a n }都不可能是等比数列．
2．(2010·江西)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n －1
B ．－(－2)n －1
C．(－2)n D．－(－2)n
答案 A
解析记数列{a n}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.∵a5>a2，∴a5>0，a2<0，∴a1>0，又由|a1|＝1，得a1＝1，故a n＝a1q n－1＝(－2)n －1.
3．(2013·广东)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数，则a1＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝________.
答案15
解析由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.
4．已知数列{a n}满足：lg a n＝3n＋5，试用定义证明{a n}是等比数列．
解析∵lg a n＝3n＋5，∴a n＝103n＋5，a n＋1＝103(n＋1)＋5.
∴a n＋1
a n
＝103，∴{a n}是以108为首项以103为等比的等比数列．。