浙江省杭州市西湖高级中学2015届高三9月月考数学（理）试题一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分，共50分） 1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-⋂则=A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0} 2.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．如l ∥m ，m α⊂，则l ∥α； B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥； D ．如l ∥α，l ∥β，m αβ⋂=，则l ∥m ．4.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= A.8 B.10C.87 D.475. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于A.12B.2D.26．函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<7．数列{}n a 满足21=a ，nn n a a 231⋅=++，则=2012aA ．10054B ．441005-C ．10062D ．100648．已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数，且0)2(=f ，则不等式0)1()1(>--x f x俯视图的解集为A ．}13|{-<<-x xB ．}3111|{<<<<-x x x 或C ．}3103|{<<<<-x x x 或D ．}213|{><<-x x x 或9．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点21,P P 分别是线段1,BD AB （不包括端点上的动点，且线段21P P 平行于平面11ADD A ，则四面体121AB P P 的体积的最大值是 A ．241B ．121 C ．61 D ．21 10．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个 二、填空题（每小题4分，共28分）11．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为 ．12．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ba 11+的最小值为 ． 13．已知(2,2),(2,1)A B ，O为坐标原点，若OA tOB -≤uur uu u r t 的值为 ．14．椭圆2x 2+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是 ．15．若M 为ABC ∆内一点，且满足3144AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r，则A B M ∆与ABC ∆的面积之比为 ．16、数列{a n }满足2112333 (32)n n na a a a -++++=，则n a = ． 17．函数(2)y x x =-在2a x ≤≤上的最小值为1-，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题（14+15+14+15+14，共72分，请写出必要的解题步骤） 18.（本小题满分14分）（I ）设全集为R ，集合{|sin(2),}642A t t x x πππ==-≤≤,，若不等式20t at b ++≤的解集是A ，求,a b 的值。
（II ）已知集合2641{|()1},{|log ()1}2x x M x N x x m --=≤=+≤，若M N ⋂=Φ，求实数m 的取值范围。
19.（本小题满分15分）ABC ∆中，4,45AB AC BAC ==∠=，以AC 的中线BD 为折痕，将ABD ∆沿BD 折起，构成二面角A BD C --．在面BCD 内作CE CD ⊥，且CE =（I ）求证：CE ∥平面ABD ； （II ）如果二面角A BD C --的大小为90，求二面角B AC E --的余弦值． 20．（本题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2,3π=C .（I ）若△ABC 的面积等于3，试判断△ABC 的形状并说明理由 （II ）若sin C ＋sin(B －A)＝2sin 2A ，求a ，b ．21．（本题满分15分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （I ）求n a 与n b ； （II ）证明：31≤1211123n S S S +++<K ．22. （本题满分14分）对于函数()f x 若存在0x R ∈，00()=f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知2()=(1)-1(0)f x ax b x b a +++≠（I ）当=1,=-2a b 时，求函数(f x ）的不动点；（II ）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （Ш）在（2）的条件下，若=()y f x 图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．杭西高2013年9月考高三数学理科试卷答案一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分）1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-则= （ C ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0} 2.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（D ）A ．如l ∥m ，m α⊂，则l ∥α；B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥；C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥；D ．如l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ．4.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ A ）A.8B.10C.87D.475. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )A.12BD.26．函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是( A ) A ．101a b -<<< B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<-D ．1101ab --<<<7．数列{}n a 满足21=a ，nn n a a 231⋅=++，则=2012a （D ）A ．10054B ．441005-C ．10062D ．10064x8．已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数，且0)2(=f ，则不等式0)1()1(>--x f x 的解集为（B ）A ．}13|{-<<-x xB ．}3111|{<<<<-x x x 或C ．}3103|{<<<<-x x x 或D ．}213|{><<-x x x 或9．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点21,P P 分别是线段1,BD AB （不包括端点）上的动点，且线段21P P 平行于平面11ADD A ，则四面体121AB P P 的体积的最大值是（A ） A ．241B ．121 C ．61 D ．21三、解答题18.（1）设全集为R ，集合{|sin(2),}642A t t x x πππ==-≤≤,，若不等式20t at b ++≤的解集是A ，求,a b 的值。
（2）已知集合2641{|()1},{|log ()1}2x x M x N x x m --=≤=+≤，若MN =Φ，求实数m 的取值范围。
19．ABC ∆中，4,45AB AC BAC ==∠=，以AC 的中线BD 为折痕，将ABD ∆沿BD 折起，构成二面角A BD C --．在面BCD 内作CE CD ⊥，且CE （I ）求证：CE ∥平面ABD ；（II ）如果二面角A BD C --的大小为90，求二面角B AC E --的余弦值．解：（1）由4,45AB AC BAC ==∠=得4BC =，所以ABC ∆为等腰直角三角形，由D 为AC 的中点得BD AC ⊥，以AC 的中线BD 为折痕翻折后仍有BD CD ⊥，因为CE CD ⊥，所以CE ∥BD ，又CE ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CE ∥平面ABD ．（2）如果二面角A BD C --的大小为90，由A D B D ⊥得AD ⊥平面BDC ，因此AD CE ⊥，又CE CD ⊥，所以CE ⊥平面ACD ，从而CE AC ⊥．由题意AD DC ==，所以R t A D C ∆中，4AC =．设BC 中点为F ，因为4A B B C ==，所以BF AC ⊥，且BF =，设AE 中点A BCDEFG为G ，则FG ∥CE ，由C E A C ⊥得FG AC ⊥，所以BFG ∠为二面角B AC E --的平面角，连结BG ，在BCE ∆中，因为4,135BC CE BCE ==∠=，所以BE ．在Rt DCE ∆中DE ，于是在Rt ADE ∆中，AE ．在ABE ∆中，2222111332242B G A BB E A E =+-=，所以在BFG ∆中，1312cos BFG +-∠==．因此二面角B AC E --的余弦值为20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2,3π=C .（Ⅰ）若△ABC 的面积等于3，试判断△ABC 的形状并说明理由 （Ⅱ）若sin C ＋sin(B －A)＝2sin 2A ，求a ，b ．.解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4. …………2分又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. …………4分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.…………7分(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A . …………9分 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； …………11分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a . …………12分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.…………14分21.在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）证明：31≤3211121<+++n S S S ．22.对于函数()f x 若存在0x R ∈，00()=f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知2()=(1)-1(0)f x ax b x b a +++≠（1）当=1,=-2a b 时，求函数(f x ）的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若=()y f x 图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．。