成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列对象不能组成集合的是(A)不超过20的质数 (B)π的近似值 (C)方程21x =的实数根 (D)函数2,R y x x =∈的最小值2. 函数()f x =(A)[3,1]-- (B)[1,3] (C)[1,3]- (D)[3,1]-3. 下列四组函数中,表示相等函数的一组是(A)()||,()f x x g x ==(B)2()()f x g x =(C)21(),()11x f x g x x x -==+- (D)()()f x g x ==4. 当02x ≤≤时,22a x x <-恒成立,则实数a 的取值范围是(A)(,0)-∞ (B)(,0]-∞ (C)(,1]-∞- (D)(,1)-∞-5. 已知集合{|(1)(2)0},A x x x =-+<集合{|0}1xB x x =>-,则A B = (A){|20}x x -<< (B){|12}x x << (C){|01}x x << (D)R6. 我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数,已知集合2{R |(1)0}A x x x =∈-=,则card()A = (A)0 (B)1 (C)2 (D)37. 已知实数,a b 满足4a b +=,则ab 的最大值为(A)2 (B)4 (C)42 (D)25 8. 设函数()f x 满足(0)1,f =且对任意,R,x y ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+ 则(1)f = (A)2 (B)2-(C)1(D)1-9. 已知函数212, 0,()2, 0.1x x xf x x x x ⎧++<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则函数()y f x =的图象是(A) (B)(C) (D)10. 某公司2020一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放). 方案1：奖金10万元方案2：前半年的半年奖金4.5万元,后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍方案3：第一个季度奖金2万元,以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5000元 方案4：第n 个月的奖金=基本奖金7000元+200n 元 如果你是该公司员工,你选择的奖金方案是(A)方案1 (B)方案2 (C)方案3 (D)方案411. 已知函数2()48f x kx x =-+在[5,10]上单调递减,且()f x 在[5,10]上的最小值为32-,则实数k 的值为(A)45-(B)0 (C)0或45-(D)0或1712. 已知函数1(),f x x x=+()g x =则下列结论中正确的是(A)()()f x g x +是奇函数 (B)()()f x g x ⋅是偶函数 (C)()()f x g x +的最小值为4 (D)()()f x g x ⋅的最小值为3第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13. 方程260x x p ++=的解集为,M 方程260x qx +-=的解集为,N 且{1},M N =那么p q += 14. 函数21,[3,5]x y x x-=∈的最小值是 15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,32()f x x x =+, 则(1)f -=16. 已知平行四边形ABCD 的周长为4,且30ABC ∠=︒,则平行四边形ABCD 的面积的取值范围为三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知集合{1,2,3},{2,1,1,3},A B ==--全集,U A B =求()U C A B ；(2)解关于x 的不等式(1)()0x x a --<,其中R.a ∈18.(本小题满分12分)对于任意的实数,,a b min{,}a b 表示,a b 中较小的那个数,即,min{,}.,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩已知函数2()3,()1.f x x g x x =-=-(1)求函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值；(2)设()min{(),()},R h x f x g x x =∈,求函数()h x 的最大值.19.(本小题满分12分)已知函数()f x =. (1)用描点法画出函数()f x 的图象；(2)用单调性的定义证明函数()f x 在1(,)2+∞上单调递增.参考公式：a b -=,其中0,0.a b ≥≥ 参考列表如下：20.(本小题满分12分)设函数()f x 是定义在区间I 上的函数,若对区间I 中的任意两个实数12,x x ,都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数. (1)证明：2()f x x =是R 上的下凸函数； (2)证明：已知0,0a b >>,.2a ba b++≤21.(本小题满分12分)据百度百科,罗伯特⋅纳维利斯是一位意大利教师,他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说,家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成,据某位专家量化研究发现,适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升,过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0,一个填空题约量化为1.6,一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量m 对应的关联函数 4, 010, 40, 1020,()1003,2030, 10, 30.m m m h m m m m <≤⎧⎪<≤⎪=⎨-<≤⎪⎪>⎩家庭作业量m 对应的学习成绩提升效果()f m 可以表达为坐标轴x 轴,直线x m =以及关联函数()h m 所围成的封闭多边形的面积()S m 与m 的比值(即()()S m f m m=).通常家庭作业量m 使得()30f m >认为是最佳家庭作业量.(1)求(10),(10)S f 的值； (2)求()f m 的解析式；(3)成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题),问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量?22.(本小题满分12分)已知函数21()|1|,R.f x x x =-∈我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =(1)判断函数1()f x 的奇偶性,并给出理由； (2)求方程13()()f x f x =的实数根个数；(3)已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试数学参考解答一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1-5 BDADA 6-10 CBACC 11-12 BB二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13. 2- 14.53 15. 2 16. 1(0,]2三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)解：(1)因为全集{2,1,1,2,3},U A B ==--{1,3}.A B =2分所以(){2,1,2}.U C AB =--5分 (2)当1a >时,解得1.x a <<6分当1a =时,即2(1)0x -<,不存在这样的实数.x 7分当1a <时,解得 1.a x <<8分综上所述①当1a >时,不等式的解集为{|1}x x a <<；②当1a =时,不等式的解集为∅；③当1a <时,不等式的解集为{|1}.x a x <<10分18.(本小题满分12分)解：(1)因为2()3f x x =-在[1,0]-单调递增,在(0,1]单调递减,所以()f x 在[1,1]-上的最小值为min{(1),(1)}f f -.2分又(1)(1) 2.f f -==于是min{(1),(1)} 2.f f -=所以函数()f x 在[1,1]-上的最小值为2.5分法2：通过函数图象(即画出函数的图象),数形结合得到当1x =±时,取到最小值2. (2)当2()13()g x x x f x =-≤-=时,即12x -≤≤时,()1.h x x =- 当2()13()g x x x f x =->-=时,即1x <-或2x >时,2()3.h x x =-所以21, 12,()3,1 2.x x h x x x x --≤≤⎧=⎨-<->⎩或8分 ()h x 在(,1)-∞-单调递增,在[1,)-+∞单调递减.即()(1) 2.h x h ≤-=11分 当1x =-时,()h x 取到最大值2.所以函数()h x 的最大值为2. 12分法2：通过函数图象(即画出函数的图象),数形结合得到当1x =-时,()h x 取到最大值2.19.(本小题满分12分) 解：描点如图,连线如图6分(2)证明：根据单调性的定义,设121,(,)2x x ∈+∞,且12.x x <7分12121212121111()()(2)(2)2()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-8分211212121212()()(2)x x x x x x x x x x -=-+=--9分1212121212121212121221()()(21)(21)()(21)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+=-⋅=⋅++121212121241.(21)x x x x x x x x x x --=⋅++10分 因为121,(,),2x x ∈+∞所以121212120,0,210,410.x x x x x x x x +>>+>->又12x x <,所以120.x x -<11分所以121212121221()()0,x x x x f x f x x x x x ---=⋅<+即12()().f x f x <所以函数()f x 在1(,)2+∞单调递增.12分20.(本小题满分12分)证明：(1)设12,R,x x ∈则22121212()()(),224x x x x x x f +++==221212()().22f x f x x x ++=2分于是222222121212121212()()()()2()()22424x x f x f x x x x x x x x x f +++++-+-=-= 2221212122()()0.44x x x x x x -+-==-≤4分即1212()()().22x x f x f x f ++≤所以2()f x x =是R 上的下凸函数.6分(2)因为0,0,a b >>令12x x =8分因为2()f x x =是R 上的下凸函数,所以f≤10分即2.22a b +≤所以2≤12分注：其它方法,只要证明完整无误均可.21.(本小题满分12分)解：(1)1(10)10410200.2S =⨯⨯⨯=2分 (10)200(10)20.1010S f ===4分(2)当010m <≤时,14()2()2.m mS m f m m m m⋅===5分 当1020m <≤时,()20040(10)200()40.S m m f m m m m+-===-6分 当2030m <≤时,1600(401003)(20)()38002()100.2m m S m f m m m m m ++--===--7分当30m >时,()85010(30)550()10.S m m f m m m m+-===+8分所以 2, 010,200 40, 1020,()3800100,2030,2550 10, 30. m m m m f m m m m m m <≤⎧⎪⎪-<≤⎪⎪=⎨--<≤⎪⎪⎪+>⎪⎩9分 (3)成都七中高一某班的家庭作业量为614 1.63 4.225.⨯+⨯+⨯=10分3800()(25)1002530.530.225f m f ==-⨯-=>11分所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量.12分22.(本小题满分12分)解：(1)因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的, 又2211()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=,故函数1()f x 是偶函数.3分(2)令1(),f x t =则0.t ≥于是2231211()(())(())||1|1|.t f x f f x f f t t ====--于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-又0t ≥,解得0t =或1.5分于是方程13()()f x f x =的实数根个数即为2|1|0x -=或1或或的根的总个数.解得1x =±或0或或所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11.(也可以数形结合得到) 7分(3)因为01,m <<结合(2)猜想m 8分 当(0,1)m ∈时,1()f m 在(0,1)单调递减,且12(),(),,()n f m f m f m 的值域均为(0,1).①当m ∈时,21()1f m m =-∈,于是1().f m m >因为1(0,)2m ∈,所以210m m +-<,于是22211()(())1(1)f m f f m m m ==--<. 即2().f m m <注意到1()f x 在(0,1)单调递减,于是3121413112()(())(),()(())(())(),f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=514123615134()(())(())(),()(())(())(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<②当1,1)2m ∈时,类比同理可得 5312460()()()()()() 1.f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<于是当(0,1)m ∈且m ≠时,()(1,2,,).k f m m k n ≠=因为0()i f x m =,其中(0,1)m ∈.若m ≠则().j i f m m -≠ 即00(())().j i i i f f x f x -≠也就是00()().j i f x f x ≠(矛盾).所以m .11分当12m -=时,因为()i f x 的值域为[0,)+∞,所以存在0x 使得01().2i f x =又111).22f =所以011011101()(())((((())))).2j j i f x f f x f f f f x -====即001()().2i j f x f x ==所以实数m 的所有可能值构成的集合为12分。