金融数学第一章练习题详解第 1 章 利息度量1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。

如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。

65.2847%)5.121(2000%5.1215026003=+=⇒=∙i i1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。

年实际利率为 5% 。

求 T 。

58.1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12/1812/112/=⨯-==-=⨯+⨯==+=+=+=------T T i v v v v T tt t t T 两边取对数，其中1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。

同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。

假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。

094588.02)12(2)21(2)21()21()21())21()21((212:))21()21((:215/11515151615161516=⨯-==+∙+=+-+==+-+=⨯⨯+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数，的半年实际利率为1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。

金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。

求 n 。

()802)05.1ln /04.7(ln 04.7)21025.072.27/2ln 2)1()(1ln 2/5.072.27=⨯==+=====+=+=n i e e i t a i n tt δδδδδδ（1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。

71.114%)641(10024/1=⨯-⨯-1.6 如果 )(m i = 0.1844144 ， )(m d= 0.1802608 ，试确定 m 。

81802608.01844144.01802608.01844144.01111111111112=-⨯=-∙=∙=-=∙--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-m m m m mm m m mm m m m m m m m m m m m m d i d i m md i d i m d i m d i m d m i m d m i d m d m i i1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。

基金 B 以t δ= t / 6 的利息力累积。

在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。

请问何时两个基金的金额将相等。

()43.101.1ln 14412/01.1ln 1212/%121212/6/1220=⨯===⎰=+t t t e e t dt t t t两边取对数，1.8 基金 A 以 t δ= a+bt 的利息力累积。

基金 B 以t δ= g+ht 的利息力累积。

基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。

已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。

求n 。

hb a g n hn gn bn an n b n a b a e e t b e e t a ht gt dt ht g bt at dt bt a t t --=⇒+=+⇒===⎰==⎰=++++)(22121)()(),0()0()()(22)21()()21()(20201.9 在零时刻将100支付利息。

从 t = 2 开始，利息按照 tt +=11δ的利息力支付。

在 t = 5 时，存款的累积值为 260。

求δ。

()()1290.0)2100/(26014260)4/1(100260)4/1(1008/1-)3ln 6(ln 24-1124-52=⨯-⨯==⨯-=⎰⨯--⨯+⨯δδδδe edt t 现率指前两年内的年名义贴1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t 2 。

请问在何时，两笔资金的利息力相等。

41.012012121112,11222=-=⇒=-+⇒+=+⇒=+=+=t t t tt t t t t B A B A δδδδ令1.11 已知利息力为tt +=12δ。

第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X 元的现值。

求 X 。

82.315))51/(())21(200-)61(600)31(300()5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-221111212)1ln(2120=++⨯+⨯++⨯=⇒⨯+⨯=⨯+⨯+=⇒+==⎰=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t1.12 已知利息力为1003t t =δ。

请求)3(1-a 。

8167.0)3(2025.0400/81)03(400/110014303====⎰=---⨯---e e e e a dt t1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。

请问在何时，两笔资金的利息力相等。

51.011.0-205.0105.01.011.005.0105.0)05.01()(05.01)%51()(:1.011.01.01)%101()(:11=⇒+=⇒-=+⇒=-=⇒-=⇒-=-=+=⇒+=+=--t t t tt t t t a t t t a B tt t t a A B A B A δδδδ令1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定5.0δ。

06829.0103.004.003.008.0103.004.0)(,1,03.0,04.0%71)1(2/%515.025.0)5.0(1)0()(5.025.022=+++=++====⇒+=++=+=++===++==t t t t t t t a c b a c b a a c b a a c a cbt at t a δ设累积函数为1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X 。

此基金按利息力1002t t =δ累积利息，其中 t > 0。

从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X ，求 X 。

61.784)42.109(8776.0)3()6()42.109(8776.1)42.109()6(42.109100)3(632302100100=⇒=+=-+=⎰+=+=+⎰=X X X A A X e X A XX e A dt t dt t1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：⎩⎨⎧>≤≤=3,045.030,02.0t t t t δ 求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。

%39.30339.0)11445.1(41445.11000)4/1(1000,1445.1)4(16/144045.009.0045.002.04330==-⨯=⇒⨯=+==⎰⎰=⨯++x x x e e a dt dt t 设年名义利率为1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。

14658.007295.0))2/%5.71(-1(4)2/%5.71()4/1(,07363.0)2/%5.71ln()2/%5.71()()4/1(22422=+=+⨯=⇒+=-=+=+=-⨯-x x x x t a t t t t tδδ设名义贴现率为注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义1.18 假设利息力为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<=105,25150,2t kt t kt t δ，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到 2.7183。

试求 k 。

0414.07183.2)(1667.24)1251000(751225251105250=⇒===⎰⎰=-++k e e et a k k k dt kt ktdt1.19 已知利息力为tt +=21δ，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利息是 8。

试求 n 。

1681211)(21)(2ln )2ln(210=⇒=-+=-+==⎰=-++n n n a te e t a t dt t t1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。

94.10681000100006667.0)1(1.0202==⎰=-e e A dt t1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。

在第 10 年末，两基金的累积值相等。

求 n 。

5244.20915.1ln /8017.0ln 40014.20915.18017.00915.1302)5.67(0915.1304)0915.110(0915.1105.670915.1300915.1100915.1ln /ln ,0915.15.67%)15.91(30%)15.91(10%)15.91(30%)15.91(10:5.67)5%111(30)10%111(10:10101021010210102101021010=-===⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯+⨯-==⨯⨯+⨯⨯-===+++⇒+++=⨯++⨯+-----n t t t t n t B A n n n nn 即令注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果1.22 已知利息力为12-=t t δ，2 ≤ t ≤10 。

请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。