版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：S=1000s 20¬p7%+Xs 10¬p7%X=50000−1000s 20¬p7%s 10¬p7%=651.722．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：设首次付款为X ，则有10000=X+250a 48¬p1.5%解得X=1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i=1。
试计算该年金的现值。
解：PV = na¬npi1−v n n = n 1n= (n+1)nn 2−n n+2(n+1)n4．已知：a¬n p=X ，a 2¬np=Y 。
试用X 和Y 表示d 。
解：a 2¬np =a¬np+a¬np (1−d)n则Y −X1d=1−( X )n5．已知：a¬7p =5.58238,a 11¬p=7.88687,a 18¬p=10.82760。
计算i 。
解：a 18¬p=a ¬7p+a 11¬p v7解得 6.证明： 11−v 10=s10¬p +a ∞¬p。
s 10¬pi=6.0%北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究 证明：s 10¬p +a ∞¬p(1+i)10−1+11s 10¬p= i(1+i)10−1ii= 1−v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。
解：PV =100a¬8p3% +100a 20¬p 3% =2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。
X=8101.65解：d=10%，则 i=110.求证： (1)¨¬np=a¬np+1−v n；1−d−1=19¨¬8p =(1+i)1−v 8i=5.6953(2)¨¬np =s¬−np1+(1+i)n并给出两等式的实际解释。
证明：(1)¨¬np=1−d vn=1−i v n=1−v ni +1−v n所以 (2)¨¬np =(1+i)n−11+i¨¬np=a¬np +1−v n(1+i )n −1=(1+i)n−1n −1d =i 1+ii+(1+i)所以¨¬n p=s¬−n p1+(1+i)n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：PV =100a49¬p1.5% −100a¬2p1.5% =3256.88AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。
已知：v10=1，计算Y 。
解：因两种年金价值相等，则有2a30¬p i+a10¬p i v10=Ya30¬−p i Ya10¬pi v10所以Y =3−v10−2v301+v10−2v30=1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解：由题意知，2a2¬n pi+3a¬n pi =362a¬n pi v n=6解得a¬7p a¬3p +s X¬pi=8.33%15.已知a11¬p=a Y¬p+s Z¬p。
求X，Y和Z。
解：由题意得解得1−v71−v11 = (1+i)X−v3 (1+i)Z−v Y16.化简a15¬p (1+v15+v30)。
解：X=4,Y =7,Z=4a15¬p (1+v15+v30)=a45¬p北京大学数学科学学院金融数学系第3页17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。
解：年金在4月1日的价值为P =1+4.5%4.5%×2000=46444.44，则PV =P (1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。
解：设递延时间为t ，有1解得t=−ln(1+lniP i)P = i v t19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一 定的金额X ，直至永远。
计算X 。
解：设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有X 1000¨20¬pi =iv 29解得X=1000((1+i)30−(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相同。
计算(1+i)n。
解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值为i3a ¬npi，而D 得到遗产的现值为v n。
由题意得所以1−v n3(1+i)n=4=v n21.永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。
已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么PV CPV APV B==a¬n pv2na¬n pa¬n pv n13n=0.49=0.61 PV D i v22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a¬n p4.5%v4<1000解：100a n+1¬p4.5%v4>1000 解得n=17列价值方程解得100a16¬p4.5%+Xv21=1000X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
解：两年金现值相等，则4×a36¬p i=5×18，可知v18=0.25由题意，(1+i)n=2 解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k。
解：由题意可得方程100a60¬p1% =6000(1+i)−k解得25.已知a¬2pi=1.75，求i。
解：由题意得解得k=291−v2=1.75i i=9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。
解：由题意可得价值方程10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4% +10000v10则K= 10000−10000v10105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5 =979.9428.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P(1+i)2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj (1+i)−4所以P(1+i)12X=1+2a¬4pi+2a¬5pj (1+i)−429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。
解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知年利率为12%。
（缺命令）解：PV =4×400+4×600v5=11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。
解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：PV =1s¬4pia24¬p i v3=(1+i)24−1(1+i)27[(1+i)4−1]= a28¬−pa¬4ps¬3p +s¬1p北京大学数学科学学院金融数学系第6页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。
有题意得75 0 i + 750s20¬pi i=Ra30¬pi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知解得i=20%1is¬3pi= 1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。
解：由题意得解得R=1.95 20= 1d= Ra¬2pi i36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。