金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】>第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。
计算x 。
解：s = 1000s?7%+xs?7%20p10p20px = 50000 ? 1000s?7% = 651.72s?p7%102．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：设首次付款为x ，则有10000 = x + 250a?p1.5%48解得x = 1489.3613．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =n解：p v = na?npi= 1nn+2 =(n + 1)nn2n4．已知：a?pn= x，a?p2n= y 。
试用x和y 表示d 。
解： a?p2n= a?pn+ a?p (1 ? d)则nny ? xd = 1 ? ( x ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。
计算i。
11p18p解：a?p = a?p + a?p v718711解得=i = 6.0%10?p +a∞?p6.证明： 11?v10s。
s10?p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s?p + a∞?p=s?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。
解：p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日=解得x = 8101.658。
1解： d = 10%，则 i=1?d? 1 =981 ? v8nnv；nnnn1n1n1ni+ 1? vnn1+i所以nn(1+nni)n(1+i)n?1=(1+i)?1nd=? 1i1+ii+ (1 + i)n所以nn版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：p v = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88av = 100s?1.5% ? 100s?p1.5% = 6959.37p213.现有价值相等的两种期末年金a和b。
年金a在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金b在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为y ，在第11－20年中没有。
已知：v=，计算y 。
102解：因两种年金价值相等，则有a?i+a?iv10=y a? ?iy a10?piv1030p10p30p所以 y =31030.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。
计算i。
1+v10?2v30= 1解：由题意知，2a?pi+ 3a?pi = 362nn2a?pivn= 6n解得73xi = 8.33%yzp a?p a?p + s?= 15.已a?p a?p + s?p 。
求x，y和z。
知解：由题意得=1 ? v11 (1 + i)z ? vy解得x = 4, y = 7, z = 4117x3153016.化简a15?p (1 + v+ v)。
解：a?p (1 + v+ v) = a?p15301545北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。
4.5%解：年金在4月1日的价值为p =2000 = 46444.44 ，则1+4pp v =(1 + i)2+= 41300.657318.某递延永久年金的买价为p ，实利率解：设递延时间为t，有1 p = i vtln解得t = ? ln(1+i)19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一定的金额x，直至永远。
计算x。
解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有x ?=i29解得x = 1000((1 + i)? (1 + i))301020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d：前n年，a、b和c三人平分每年的年金，n年后所有年金由d一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相同。
计算(1 + i)。
n解： i，那么a,b,c得到的遗产的现值为 i ，而d得到遗产的现值为v。
由题意得 3?pinn1 ? v= v 3nn所以(1 + i)= 4n21.永久期末年金有a、b、c、和d四人分摊，a接受第一个n年，b接受第二个n年，c接受第三个n 年，d接受所有剩余的。
已知：c与a的份额之比为0.49，求b与d的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么p vc = a?n= 0.49p vav2np vb =a?pn= 0.61na? n3vnp vdi22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
vnp4.5%41000 100a?解：100an+1?p4.5%v4100016解得 n = 172列价值方程解得+100a?p4.5%xv1 = 1000x = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 91836pn24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k。
解：由题意可得方程100a?p1% = 6000(1 + i)?k60解得k = 2925.已知a?pi= 1.75，求i。
2解：由题意得1 ? v= 1.75i2解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：【篇二：金融数学引论北大版第4章答案】现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。
已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。
解：设每个季度还款额是r ，有ra(4)5p6%￢ = 1000解得r ，代入b2 的表达式b2 = ra(4)3p6%￢= 635.32 元2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。
解：n =100002000= 5= 4917.72 元3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。
解：以季度为时间单位，i = 2.5% 。
b0 = b1 ? v + 1500a4pi ￢= 16514.4 元4 某贷款将在15 年内分期偿还。
前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。
计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。
解：对现金流重新划分，有b7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。
如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。
解：设原始贷款额为l ，每次还款为r ，以半年为时间单位，有 ???5000 = ra3p4% ￢l = ra7p4% ￢整理得：l = 5000 ? a￢7pa￢3p= 10814.16 元6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。
若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。
解：设第4 次还款后的未结贷款余额为l ，每次还款为r ，有 ???20000 = r ? a12pi ￢l = r ? a8pi ￢把(1 + i)4 = 2 代入整理得：l = 5000 ? 1 ? (1 + i)?81 ? (1 + i)?12= 17142.86 元7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。
若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。
计算调整后的每次还款额。
解：设正常每次还款为r ，调整后每次还款x ，以当前时间和第5年底为比较日，有???20000 = ra2￢0pxa1￢3p ? v2 = ra1￢5p整理得：x = 20000 ? a15p ￢a2￢0p? (1 + i)2a1￢3p8 某贷款l 原计划在25 年内分年度等额还清。
但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付k 元，结果提前5 年还清贷款。
试证明： k =a2￢0p ? a1￢5pa2￢5p a￢5p l证：以第20 年年底为比较日，设每次还款为r ，有???l = ra2￢5pks￢5p (1 + i)10 = ra￢5p整理即得。
9 设bt 表示未结贷款余额，证明：(1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (bt+1 ? bt+2)2;(2) bt + bt+3 bt+1 + bt+2证： (1)(bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (r + bt+11 + i? bt+1) ? (bt+2 ? ((1 + i)bt+2 ? r))=r ? ibt+11 + i? (r ? ibt+2)= (r ? ibt+1) ? r ? i((1 + i)bt+1 ? r)1 + i= (r ? ibt+1)2= (bt+1 ? bt+2)2(2)bt ? bt+1 = r ? ibtr ? ibt+2= bt+2 ? bt+3) bt + bt+3 bt+1 + bt+2默认每次还款额是相同的！10 某贷款按季度分期偿还。
每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。
计算第6 次还款中的本金量。
解：p6 = b5 ? b6= 1000a20?5p3% ￢ ? 1000a20?6p3% ￢= 641.86 元11 n 年期贷款，每年还款1元。