线量与角量的关系
s = Rθ
dθ v ω= = dt R
dω d 2θ = α = dt dt 2
v = Rω aτ = Rα
v2 = Rω 2 法向加速度： an = R
v= a=
an = Rω 2
ω×r α ×r +ω×v
（指向圆心） （沿切线方向）
切向加速度： = at 伽利略速度变换式:
dv dx vdv −kv 2 = ⋅ = 解： （1） a = dt dx dx ∴ ∫ −kdx = ∫
0 x
v0 ，求常数 k。 2
，
dv v0 v
v
解得： x(v) =
1 v0 ln k v
dv −kv 2 = （2） a = dt
解得： k =
1 2v0
， ∴ ∫0 −kdt = ∫v0
v 2i − 4tj ，计时开始 2. 质点在 xoy 平面内运动，其速度为： = 时质点的 r0 = 19 j ，试求：
（1）质点的运动方程； （2）当质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直时，将发生在 什么时刻？
dr r t 解： （1） v = 2i − 4tj = ⇒ ∫ = dr i − tj (2 4 )dt ∫ r 0 0 dt 运动方程： r (t ) = 2ti + (19 − 2t 2 ) j
dv x dv y dv z = i+ j+ k dt dt dt
在自然坐标中
dv v et + en a = at et + an en = dt ρ
2
(7) 圆周运动的角量描述： 角位置： 角位移： 角速度： 角加速度:
θ = θ (t ) Δ θ = θ (t + Δ t ) − θ (t )
2 v10 ± v10 − 2 gh = 1.22 s 或 1.84 s t= g
，
（ t ≥ t1 ）Βιβλιοθήκη 1 2 gt 得击中时间为 2
若 t = 1.22 s 击中，代入 h= v20 (t − t1 ) −
1 g (t − t1 ) 2 ，得 v20 = 51.1m / s 2
若 t = 1.84 s 击中，代入 h= v20 (t − t1 ) −
重力势能：
(6) 保守力与势能的微分关系 ∂ Ep ∂ Ep ∂ Ep j+ k) i+ F = −∇Ep = −( ∂y ∂z ∂x (7) 机械能守恒定律 当 W外 + W非保内 = 0 时， Ek + Ep = 常量。
3. 动量和动量定理 (1) 冲量 元冲量：
dI = Fdt
2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及 初始条件求质点的运动方程
dr v= dt
2 dv d r a= = 2 dt dt
1． 一质点在 xoy 平面内运动，运动方程为： x = 2t ；
= y 4t 2 − 8 （国际单位制） 。求：
（1）质点的轨道方程； （2） t1 = 1s 和 t2 = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。
(2) 功率
dA P= = F ⋅v dt
(3) 动能定理 质点的动能定理：
∫
b
a
质点系的动能定理： A外 + A内 = Ekb − Eka
1 1 2 2 F ⋅ dr = mv b − mv a 2 2
(4) 保守力 F ⋅ dr = 0（重力、万有引力、弹簧弹性力等都是保守力） ∫
8t 1 + 4t 2
dv （3） a = = −4 j dt
a = τ dv = dt
a = 4 2 = v 2 1 + 4t
，
4 1 + 4t 2
，
an =
a 2 − aτ2 =
。
3. 以初速率 v10 = 15.0m / s 竖直向上扔出一块石头后，在
t1 = 1.0s 时又竖直向上扔出第二块石头， 后者在 h = 11.0m 高
t1
t2 t1 至 t2 时间内的冲量： I = ∫ dI = ∫ Fdt
(2) 动量定理
I 质点的动量定理： =
∫
t2
t1
F = dt mv 2 − mv1
（3） 任意时刻的角速度 ω (t ) 和角加速度 α (t ) ；
ds ) τ = (a + 2bt )τ 解： （1） v (t= dt
dv dv v 2 a (= t) = τ+ n dt dt R （2） (a + 2bt ) 2 = 2bτ + n R
；
y = f ( x)
——轨道方程
(3)位移：由质点的初始位置指向末位置的矢量。
Δr = r (t + Δt ) − r (t ) 在直角坐标系中 Δr = Δxi + Δyj + Δzk
(4)路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为 路程，用s 表示，是标量。
dr v= (5)速度：质点位置对时间的一阶导数称为速度 ， dt 在直角坐标系中 v = v x i + v y j + v z k dx dy dz j+ k = i+ dt dt dt
矢量代数
(1) 常见的物理量有标量和矢量两种 (2) 矢量之和 C = A + B 矢量之差 C = A − B = A + ( − B ) 矢量的标积 C =A ⋅B (C = AB cos θ ) 矢量的矢积 C = A × B (C = AB sinθ ) (3) 矢量在空间直角 Oxyz 坐标系中的分量表示：
力的矢量叠加原理：F = F1 + F2 +
(2) 力学中几种常见的力 mm 万有引力： F = −G 1 2 2 er r 重力： FG = mg 弹簧的弹性力：F = − kxi 静摩擦力：


Fs ≤ Fsmax
Fsmax = µs FN
滑动摩擦力： Fk = µ k FN (3) 应用牛顿运动定律解题的一般步骤 选取研究对象；分析受力情况，画出受力图； 选取坐标系；列方程求解；讨论。 (4) 牛顿运动定律的适用范围 宏观低速物体；惯性系。
处击中前者，求第二块石头扔出时的速率 v20 。
解：以抛出点为原点向上为正方向建立 y 坐标系， 1 2 gt ， 2 1 第二块石头的运动方程： y2= v20 (t − t1 ) − g (t − t1 ) 2 2 第一块石头的运动方程： = y1 v10t −
第二块石头在 h=11.0 m 高处击中第一块石头，由 = h v10t −
= Ax Bx
Ay By
Az Bz
dA dAx dA y dAz j+ k i + = dt dt dt dt ∫ Adt = (∫ Ax dt )i + (∫ Ay dt ) j + (∫ Az dt )k
第一章 质点运动学
1. 几个概念：质点，参考系，惯性系与非惯性系 2. 描述质点运动的物理量 (1) 位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段。 在直角坐标系中 (2) 运动方程
r = xi + yj + zk
在直角坐标系中 r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t ) k
消去时间参量 t:
x = x(t ) 直角坐标系中分量表示 y = y (t ) z = z (t )
在自然坐标中
s = s (t )
A = Ax i + Ay j + Az k A ± B = ( Ax ± Bx )i + ( Ay ± B y ) j + ( Az ± Bz )k A ⋅ B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz A × B = ( Ay Bz − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k i j k
1 g (t − t1 ) 2 ，得 v20 = 17.2m / s 2
4. 一赛车沿半径为 R 的圆形轨道作圆周运动， 其行驶路程与时间的关
s at + bt 2 ，式中 a 、 b 均为常量。求该赛车： 系为 = v （1） 任意时刻的速度 (t ) ； a （2） 任意时刻的加速度 (t ) ；
2
v0 /2
dv v2
第二章 质点动力学
1. 牛顿运动定律 (1) 牛顿运动三定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直 牛顿第一定律： 到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。
牛顿第二定律： 当m不变时： 牛顿第三定律：
dp F= dt
dv d 2r F =m = m 2 = ma dt dt F12 = − F21
L
(5) 势能
E pa = −∫ F保 ⋅ dr
a b ( 势能零点）
（以 y = 0 的平面为势能零点） Ep = mgy 万有引力势能： Ep = −G m1m2 （以无穷远处为势能零点) r 弹簧弹性力势能： Ep = 1 kx 2 (以弹簧原长处为势能零点) 2 保守力作功与势能的关系： A保 = − ∆Ep = −( Epb − Epa )
) （3） ω (t=
v (a + 2bt ) = R R aτ 2b ； α (= t) = R R