向量：
→ (1)AP； → → → 解 AP＝AD1＋D1P
→ → 1→ ＝(AA1＋AD)＋2AB
1 ＝a＋c＋2b.
→ (2)A1N；
解 → → → A1N＝A1A＋AN
→ → 1→ ＝－AA1＋AB＋2AD
1 ＝－a＋b＋2c.
→ → (3)MP＋NC1.
→ → → — → → → → 解 MP＋NC1＝(MA1＋A1D1＋D1P)＋(NC＋CC1)
PART TWO
2
题型探究
题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD 解析 A中，空间向量满足加法结合律； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
1 → → 1→ 1 → → ＝2AA1＋AD＋2AB＋2AD＋AA1
3 → 3 → 1→ ＝2AA1＋2AD＋2AB
3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.
引申探究 C1P 1 若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上，且PD ＝2”，其他 1 → 条件不变，如何表示AP？
2 → → → → → 2→ 解 AP＝AD1＋D1P＝AA1＋AD＋3AB＝a＋c＋3b.
— → — → — → — → — → B′B，CC′，C′C，DD′，D′D，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的 模均不为 1，故单位向量共有 8 个.
②试写出模为 5的所有向量.
— → 解 由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量有AD′， — → — → — → — → — → — → — → D′A，A′D，DA′，BC′，C′B，B′C，CB′.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为 ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； → → → → → → → → ②若向量AB，CD满足|AB|＝|CD|，AB与CD同向，则AB>CD； → → → → → → ③若两个非零向量AB，CD满足AB＋CD＝0，则AB，CD互为相反向量； → → ④AB＝CD的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合. A.1 B.2 C.3 √ D.4
→ → 对于④A1D与B1C长度相等，方向相同.故互为相反向量的有 2 对.
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3， AD ＝ 2 ， AA′ ＝ 1 ，则分别以长方体的顶点为起点和终 点的向量中： ①单位向量共有多少个？
解 — → — → — → 由于长方体的高为 1， 所以长方体的四条高所对应的向量AA′， A′A， BB′，
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、 平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练 3
如图，在空间四边形 OABC 中，M，N 分别是对边 OA，BC 的中
— → — — → — — → — → 故AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A＝0.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运 算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时， 务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得 更准确的结果.
→ —→ 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1成立，故②正确；
③显然正确.故选B.
反思感悟
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相
关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两 向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
跟踪训练 1
C.a与b方向相同
B.a＋b为实数0
D.|a|＝3 √
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
1
2
3
4
5
4.已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，设 M，G 分别是 BC，CD 的中点， → → → 则MG－AB＋AD等于 3→ A.2DB
√
→ B.3MG
→ C.3GM
2.空间向量加法交换律
a＋b＝ b＋a ， 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
知识点三 数乘向量运算
1.实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数 乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| . (2)当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 相反 ；当λ＝0时， λ a ＝0 .
素养评析 (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键. (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.
PART THREE
3
达标检测
1.下列命题中，假命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等 √
空间向量的加减运算
如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在
图中标出化简结果的向量.
— → → (1)AA′－CB；
— → → — → → — → → — → 解 AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′.
— → → — — → (2)AA′＋AB＋B′C′.
— → → — — → — → → — — → — → — — → — → 解 AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′.
D.相等向量其方向必相同 √
(2)给出以下结论： ①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； → —→； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝AC ＝A1C1 ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是
A.0
B.1 √
C.2
D.3
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；
— → — → 向量AD′，AC′如图所示.
引申探究 — → — — → — — → — → 利用本例题图，化简AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A.
解 结合加法运算
— → — — → — → — → — — → — → — → — → AA′＋A′B′＝AB′，AB′＋B′C′＝AC′，AC′＋C′A＝0.
2.几类特殊的空间向量
名称 零向量 单位向量
定义及表示 起点与终点重合的向量叫做 零向量 ，记为0
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
相等向量 共线向量或 平行向量
与向量a长度 相等 而方向相反 的向量，称为a的相反向量， 记为－a 方向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量， 同向 且 等长 的有
→ D.2MG
→ → → → → → → → → → → 解析 MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB＝MG＋2MG＝3MG.
1
2
3
4
5
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：
→ → → → — → → → → → ①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋ — → — → → A1B1)＋B1C1.其中运算的结果为AC1的有_____ 4 个.
第三章
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
XUEXIMUBIAO
学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向
量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加 法的交换律和结合律. 3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.
内容索引
→ → → 点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC＝c， → 试用向量 a，b，c 表示向量OG.
→ → → → 2 → 1→ 2 → → → 解 OG＝OM＋MG＝OM＋3MN＝2OA＋3(MO＋OC＋CN)
1 2 1 1 ＝2a＋3[－2a＋c＋2(b－c)] 1 1 1 ＝6a＋3b＋3c.
2.空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a ； (2)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( √ )
2.零向量没有方向.( × )
3.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( × ) 4.空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向.( × )
→ — → — → — → 跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
题型三
数乘向量运算
→ → 例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设 AA1＝a，AB＝b， → AD＝c ， M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： → → → → → → ①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1； → — → — → → — → → ②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1； → → — → → — → → ③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1； → — → — → → — → → ④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. → 所以 4 个式子的运算结果都是AC1.