空间向量及其线性运算编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a 。

（要注意印刷体用a ，而手写体为a ，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0。

规定：0与任意向量平行。

单位向量：长度为1的空间向量，即||1a .相等向量：方向相同且模相等的向量。

相反向量：方向相反但模相等的向量。

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

要点诠释：①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．要点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++ 要点诠释：（1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3） 空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；要点三、空间向量的数乘运算1. 定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＞0时，λa 与a 方向相反；当λ=0时，λa=0．λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(a+b)=λa+λb ；结合律：λ(μa)= (λμ)a ．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积λa （λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．要点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b ．注意： 0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使b a λ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：① a ∥b （b≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a=λb ；② 存在唯一实数λ，使得a=λb （b≠0），则a ∥b ．注意: b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3. 共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。

证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。

要点五、共面定理1．共面向量的定义．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（,x y ），使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P x M A y M B =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++，上式叫做平面MAB 的向量表达式．3.共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。

【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1、已知在平行六面体''''ABCD A B C D -中，设CD a =，CB b =，'CC c =，试用向量a 、b 、c 来表示向量CA 、'CA 。

【思路点拨】 要想用a 、b 、c 表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。

【解析】在平行六面体''''ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，CA CB CD =+=+=+b a a b 。

又因为四边形''ACC A 为平行四边形，∴'''CA CA CC CB CD CC =+=++=++a b c 。

【总结升华】 运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行四边形法则以及向量加法的交换律、结合律等，运用数形结合的数学思想解题。

举一反三：【变式1】（2015春 武汉校级期中改编）空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，试用向量BA ，CD 表示向量EF 。

【答案】1()2BA CD + 【解析】∵点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点， ∴EF OF OE =-，1()2OF OA OD =+，1()2OE OB OC =+。

∴11()()22EF OA OD OB OC =+-+ 1()2BA CD =+ 【变式2】如图，设四面体ABCD 的三条棱AB =b ，AC =c ，AD =d ，Q 为△BCD 的重心，M 为BC 的中点，试用b 、c 、d 表示向量DM 、AQ 。

【答案】∵M 为BC 的中点， ∴11()[()()]22DM DB DC =+=-+-b d c d 1(2)2=+-b c d 23AQ AD DQ DM =+=+d 11(2)()33=++-=++d b c d b c d 。

例2、如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -；（2）111'222AD AB A A +-。

【思路点拨】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。

【解析】（1）''''AA CB AA BC AA AD AD -=+=+=；（2）111111''222222AD AB A A AD AB AA +-=++11(')'22AD AB AA AC =++=。

【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。

表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括外面。

举一反三：【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】【变式1】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1） 1AB AD AA ++ ；（2） 1DD AB BC -+；【答案】 (1)11AB AD AA AC ++=(2) 11DD AB BC BD -+=【变式2】已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG AB AD -+等于（ ）A ．32DB B ．3MGC ．3GMD ．2MG 【答案】B ；()MG AB AD MG AB AD MG DB -+=--=-23MG BD MG MG MG =+=+=例3．若三棱锥O 一ABC 中G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++.【思路点拨】 先在ΔOBC 中考虑中线OD,然后在ΔOAD 中考虑G 为AD 的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用,,OA OB OC 表示即可.【解析】如图所示，∵G 是ΔABC 的重心∴2AG GD =，D 为BC 的中点∴22()33OG OA AG AD OA OD OA OA =+=+=-+ 21[()]321()3OB OC OA OA OA OB OC =+-+=++ 【总结升华】(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2)此类例题常用到结论：若OD 是ΔOBC 的中线，则有1OD (OB OC)2=+ 举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=。

【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC AB AD =+，''AB AB AA =+，''AD AD AA =+，∴''AC AB AD ++()(')(')AB AD AB AA AD AA =+++++2(')AB AD AA =++又由于''AA CC =，AD BC =，∴''AB AD AA AB BC CC ++=++''AC CC AC =+=∴''2'AC AB AD AC ++=。

【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，试证：1()2EF AB DC =+。