则 AE 200. 在三角形Ax DE中，由余弦定理得：
y x24x124020(100 x2)0
(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值
yx24140200402 001 002,当且 x2 仅 41当 40
x2
x2
即 x102时 ,
若DE做为参观线路，须求y的最大值。
一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组）
就是最有效的工具。
例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结
算，批发价每购60支比零售60支少1元，现有班长小王来购买铅笔，若
给全班每人买1支铅笔，则必须按零售价结算，需用m元(m为自然数)，
但若多买10支，则可按批发价结算恰好也用m元，问该班共有多少名学
函数应用题专题复习
(应用题中常见的几种数学模型）
本节课主要内容简介：
应用题的数学模型是针对或参照应用特 征或数量依存关系采用形式化的数学语言， 概括或近似表达出来的一种数学结构，本节 课结合实例介绍几种解应用题常用的数学模 型。
一、函数模型
在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定 规律的，这些规律就是我们学过的函数。
分析要求y与x的函数关系式，就是找出
DE与AD的等量关系。 （1）三角形ADE中角A为600
故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。
（2）
SADE
1 2 SABC
解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。
s AD 1 2 ES AB C 1 2xAsE i6n 0 1 24 322 0
生?
解 :设全x人 班， 共则 有 m 元 零， 售批 价 m发 元 为价 ，为
x
x10
由题设得
60 m m 1 (40x50)
x x 10
解得m， x(x10) 又 x ， m N ，x 所 5， 0 m 以 5
600
所以该班共有50名同学。
三、不等式模型
令 x2t [10 ,400 ] ,0y t414 0200
设
t
f(t)t41 t 40 ,任1取 0 t0 1t240 , 0
f(t1 ) f(t2 ) (t1 4 t1 14 )0 (t2 4 t1 24 )0 (t1 t2 )t1 t2 t1 4 t2 140 当100≤t1<t2≤200时，104<t1t2<4•104, ∴t1t2-4•104<0，又t1-t2<0t1t2>0,∴f(t1)>f(t2)， 则f(t)在[100，200]上是减函数。
例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出 50个。如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一 个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润。
分析：利润=（零售价—进货单价）销售量
零售价 50 51 52 53 …. 50+x 销售量 50 49 48 47 …. 50-x
2
3
当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
（2）故20还05需年筹时，集n2=090此0时-9y6=0=31204001万.58元 才72能0 解 32决温8 饱问题。
故若DE是输水管道的位置，则需使 x10 2 若DE是参观线路，则需使x=10或20
思考：DE的几何意义是什么？
四、数列模型
如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散 性，那么所考查的很有可能就是数列模型。
例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业， 1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每 年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2 。 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题， 3 达到8100万元可以达到小康水平。 （1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是 哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
3201.53
720

2
3
3
320720
3201.5n1
720


2 n 1 3Fra bibliotek略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
y= 3201.5n1+
720


2
n 1
3
2 32 0 3 n172 0 2 n1 960
当200≤t1<t2≤400时，4·104<t1t2<42•104, ∴t1t2-4•104>0，又t1-t2<0,∴f(t1)<f(t2)， 则f(t)在[200，400]上是增函数。
∴当t=200，即 x10 2 ymi n 200 102 当t=100或t=400即x=10或20时，yma x 300103
故有：设利润为 y元，零售价上涨x元
y=（50+x-40）（50-x） （其中 0〈x〈50） = -x2 +40x+500
x202900
90当 0 且仅 x2当 时 0 等号成立 即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润。 最高利润为900元。
二、方程模型
许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出
数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。
例3、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地 辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部 分，D在AB上，E在AC上。
（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短， DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又应该在哪里？说明现由。
分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
年份 97
98
99
2000
… （第n年）
（n=1） （n=2） （n=3） （n=4）
甲企业 乙企业 总利润
320 720
3201.5
720 2 3
3201.52
720 2 2 3