原式 Q xPydxdyDyexdxdy
0exD dx0sin xydy12
exsin2xdx
0
1 40 ex(co2xs1)dx
1 5
e
1
7
例 3 .计 I L ( x s 算 2 y i y n ) d ( x 2 x c 2 y o 1 ) d , sy
其 L 为 中 x 2 圆 y 2 R 周 2 上A ( 从 R ,0 )经 点
BO
OA
14R2R.
10
一 G 公 r : P ( e x ,y 式 ) e Q ( ,x n ,y ) 在 D 内 ( 单连通或多 连通闭区域)有连续偏导数, 则
Q x P y dxdyD P dxQ dy (1 ) D
二 P (x,y)Q ,(x,y)在 单连通区域 G内有连续偏导数,
(由2)
L 1Pd Q x dL 2 yPd Q xd Ly 1(PL2d) xQdy0
L 1P d Q x d L 2y P d Q xdy
12
3 4在 G 内任 A (x 0 取 ,y 0 )和 C 两 (x ,y ) 点
令u(x,y)(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
D C(x, y)
则下列四个命题等价:
1. PyQ x 在G内处处,成立
2 . 对 G 内 于任L 有 意 L P d 闭 x Q d y 曲 0 , 线 3. LPdxQdy在 G内与路,径无关
4 . 存 u u 在 (x ,y )使 d u P d x Q d y 在 G 内恒 .
u (x ,y)称P d 为 x Q dy的一个 11 原
同理 (经路A径 D)C
x
y
u ( x ,y ) x0P(x,y)dxy 0 Q ( x 0 ,y ) dy ( 1 )0
由(9) uQ(x,y) 由 (1)0uP(x,y)
y
x
13
duudxudy x y
u Q(x, y) y
P (x ,y ) d Q x (x ,y ) dy uP(x, y)
a2b02 d ab.
6
例 2e x (1 cy o )d x s (y siy )d n y
L
其 L 是 中 D 域 0 x ,0 y sx i 的 n 正 .
解 P (x ,y)ex(1co y)sQ (x,y) ex(ysiy)n
Q xex(ysiny)
P ex siny y
(x,y)
x
即u(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
为PdxQd的 y 一个原. 函数
4 1设有 G 上 定的 义 u (x,函 在 y) 数
使 d u P d x Q d y,
则有u xP(x,y),
u Q(x, y) y
进一步2u P,
2u Q
xy y y x x
14
由P及Q的连续性立得 y x 2u 2u x y y x
2 0 rr s2in ( rsi)n rc r2 ors c o d s
2
0
d
2
此例 ,在XY平面上除原点Q x外 处 Py,处有
但是闭曲线的积分却是 不零! 除去原 X点 Y平 的 面不
是单连 !原 通点 域是 "洞 一 ". 个
17
例 4 I ( 3 , 4 ) 6 x 2 y y 3 d x 6 x 2 y 3 x 2 d y y ( 1 , 2 )
高等数学第三节格林公式及其应用
积
解 A D xd 0 y 2aco b sc o ds ab02co2sd4ab02cos2 d
4ab
4
ab.
或 A12Dxdyydx
1 2 0 2 a c o b c s o b s i( n a s i)n d
第一象B 限 (0,R 到 )的点 一.段弧
y
B
解 . 记 P x s2 iy n y , Qx2co2ys1,
D
则 QxPy 2xco2ys(2xco 2ys 1 )
O
Ax
1.
J (xsi2nyy)dx (x2co2ys1)dy
LBO OA
QxPydxdy
dxdy
D
1 4
R2
.
9
D
(xsi2nyy)dx(x2co2sy1)dy
1 4
R2
.
LBO OA
y
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
B
D
O
Ax
BO x0
yy
0
0 dy R
R
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
OA x x
y0
R
0 dx
0
0
I1 4 R 2P d Q x d P y d Q xdy
围成多连通区域D, 在 D上应 Gr 用 公 ee:式 n
D P d x Q d y Q x P y d x d y0 D
(1)1
Q xx2x 2y 2y 222 x2,P yx2 x2 y2 y 22 2y2 16
( 1 ) 式 1 L 左 P Q d 端 x d P y Q dx dy L P d Q x d P y d Q xdy xy:2rrcs ions0
即 PQ. y x
证毕 .
2u P x y y
2u Q y x x
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例 解3 PI(x, yL )xxxd22 yyyyy2d2,xQL(x为, y包)围x2原x点y2的任y意光D曲滑L线
这两个函数在原点无定义, 以原点
为 ,画 圆 r 的 半 心 ,( r 充 圆 径 )L分 和为 小 x
(线积分与路,才 径可 无以 关这) 样记
PdxQdyyy0x
AB
x0
P(x,
y0)dx
BCPdxQ x dyx不变yy0Q(y x, y)dy
A ( x0, y0 )
B(x, y0)
G
u ( x ,y ) x 0 P ( x ,y 0 ) d y x 0 Q ( x ,y ) dy ( 9 )
证明1 过 2 程 3 4 为 1: 12: 在G内任取一条 L,L闭 围曲 成线 D L
一闭域D, 在 D上应 Gr 用 定 ee:理 n G
LPdQ x d y Q xP ydx (d由 1 y)0 . B
2 3在 G 内 D 任A 取 和 B .用 两两 点 LG2条 A L1 曲 L 1 和 线 L 2 联 A 和 结 B ,则