m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
Fi
4 机械旋转运动
例 列出系统运动方程 解：由角加速度方程
J
dw
dt
M
其中，J--转动惯量，ω--旋转角速度，ΣM--和力矩，得
Jddwt fw Mf
其中，Mf --作用力矩；
fω--阻力力矩，其大小与转速成正比，负号表示
方向与作用力矩方向相反。
整理后，得
ue(t) ui (t) (关联参考方向)
（2）基尔霍夫电流定律
i(t) 0
例 写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。
解：由回路电压定律
有
uR(t) uC (t) ui (t)
即
Ri(t) uC (t) ui (t)
将
i(t)
C
duC ( dt
t
)
,
uo
(
t
)
uC (t )
代入上式,有
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
令时间常数
T RC
则有 可简写为
T
duo (t ) dt
uo (t )
ui (t )
Tu&o uo ui
例 写出以u为输入， i 为输出的微分方程
L di Ri u dt
例 写出以ui为输入，u0为输出的微分方程
+
R1
a
R2
+
ui
i1 C1
i2 C2
第二章 控制系统的数学模型
控制系统的时域数学模型 传递函数 典型环节的传递函数 闭环控制系统的动态结构图 动态结构图的等效变换 反馈控制系统的传递传递函数 信号流图与梅逊公式
2.1 控制系统的数学模型
2.1.1 什么是控制系统的数学模型？
控制系统的数学模型是根据系统运动过程的物理、化 学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输 入关系的数学表达式。
2.2.3 建立线性系统过程的微分方程(举例)
1、元件约束 电阻R、电容C和电感L，它们的微分方程关系必须遵
循广义欧姆定律。
uR(t ) R× iR(t )
uC
(t)
1 C
iC (t)dt
uL(t)
L
diL(t) dt
2. 网络约束
电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律。 （1）基尔霍夫电压定律
2.2 控制系统的微分方程模型
2.2.1 控制系统运动规律的微分方程 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本
模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。
a0 y(n) (t) a1 y(n1) (t) ...... an1 y(1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) ...... bm1u(1) (t) bmu(t)
uo
-
-
解:对于回路L1，有 b
uR1 uC1 ui
对于回路L2，有
uC1 uR2 uC 2 0
元件约束为
uR1 R1 × i1 uR2 R2× i2
uC 1
1 C1
(i1 i2 )dt
化简，可得
uC 2
1 C2
i2dt uo
R1C1R2C2
d2uo dt2
(R1C1
R2C2
两大类方法，或者说有两种不同的途径。一类是机 理分析建模方法，称为分析法，另一类是实验建模 方法，通常称为系统辨识。
a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律
以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之 间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简 单的系统。
b.工程实验法
工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号 来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用这种建模方法。
其中 n m
dn
d n1
d
或者
a0 dtn y(t) a1 dtn1 y(t) ...... an1 dt y(t) an y(t)
dm
d m1
d
b0 dtm u(t) b1 dtm1 u(t) Байду номын сангаас..... bm1 dt u(t) bmu(t)
2.2.2 用解析法建立运动方程的步骤是：
2.1.2 数学模型的表示形式
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)结构框图 (4)信号流图
在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分 方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图是数 学模型的图形表达形式。
2.1.3建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有
输入
输出
黑盒
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为
灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确 而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学 模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略 一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾， 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不 准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。表示表示表示
R1 C2)
duo dt
uo
ui
设时间常数
T1 R1C1 ,T2 R2 C2 ,T3 R1C2
则有
T1T2
d2uo dt2
(T1
T2
T3
)
duo dt
uo
ui
可简写为
T1T2&&uo (T1 T2 T3 )&uo uo ui
3 力学系统(基本约束----牛顿定律)
(1) 机械平移运动
例 列出以外力Fi为输入，物体运动平移x为输出的 运动方程。其中K为弹性系数，f为阻尼系数，M为物 体质量。
解：由加速度定律
ma
和力为
F
m
d2 x dt2
F Fk Ff Fi
其中弹性阻力
Fk kx
粘滞阻力 代入方程有
Ff
f dx dt
整理得
m
d2x dt2
kx f dx dt
Fi
J
dw
dt
fw
Mf
如果以转角θ为输出变量，因为
将它代入方程，得
w dq
dt
J
d2q
dt2
f
dq
dt
Mf
5 复合系统
例 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图5-1 所示，机电系统原理如图5-1所示，试写出其运动方程。
1.分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
2.从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律， 列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应， 就是考虑后一级对前一级的影响。
3.将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输 入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容： ①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量 有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。