第三章 力系的平衡条件与构 架的组成规律
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2, , Fn} {FR, MO}
FR 0, MO 0
平衡
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
L
例3-20
已知：P1,P2,P3,尺寸如图。
求： １，２，３杆所受力。 解： 求支座约束力
M A 0 FAy
Fiy 0 FBy
从1，2，3杆处截取左边部分
Fiy 0
F2
MC 0
Fix 0
F1 F3
若再求４,５杆受力
取节点Ｄ
Fix 0 F5 Fiy 0 F4
Fix 0 FAx FT cos 300 0
Fiy 0
FAy P1 P2 FT sin 300 0
(1)
MA 0
FT sin 300 6 4P2 3P1 0
解得 FT 17.33kN FAy 5.33kN
例3-16 已知：P , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力。
得 FAy 20kN
Fiy 0 FAy FBy 40 0
得 FBy 20kN
求各杆内力
取节点A
Fiy 0 FAD
Fix 0 FAC
取节点Ｃ
Fiy 0 FCF Fix 0 FCD 0
取节点Ｄ
Fiy Fix
0 0
FDF , FDE
取节点Ｅ
L
Fiy 0 FEG Fix 0 FEF
M A 0 M A M 2ql 2l FB sin 600 3l F cos300 4l 0
解得
M A 10.37kN
例3-5 已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
解： 取AB梁，画受力图。
Fx 0 FAx Fc cos 450 0
F y
0
FAy Fc sin 450 F 0
M A 0 Fc cos 450 l F 2l 0
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例3-8 已知: F=20kN, q=10kN/m,M 20kNm, L=1m; 求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
解得 F3 9.81kN (拉)
例 3-14 已知：P1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图；
求：BC杆受力及铰链A受力。
解： 取AB 梁，画受力图。
Fix 0 FAx FT cos 300 0
Fiy 0 FAy P1 P2 FT sin 300 0
M A 0 FT sin 300 6 4P2 3P1 0
F x
0
FAx 0 解得 FAm 0
M A 0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得
FB
3 4
P
1 2
qa
Fy 0
解得
FAy q 2a P FB 0
FAy
P 4
3 2
qa
例3-2（例2－1）
已知：AC=CB=l, P=10kN; 求：铰链A和DC杆受力。（用平面任意力系方法求解）
汇交力系平衡的充分必要条件：
空间问题
Fx 0 Fy 0, Fz 0
平面问题
力偶系平衡的充分必要条件：
Fx Fy
0 ,
0
空间问题
M x (F ) 0 M y (F ) 0, M z (F ) 0
平面问题
M 0
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：梁A端的约束力。
解： 取整体，画受力图 MC 0 FBy 2a 0
解得 FBy 0
取ADB杆，画受力图 取DEF杆，画受力图
MD 0 FE sin 45o a F 2a 0
得 FE sin 45o 2F
Fix 0 FE cos 45o FD' x 0
得 FD' x FE cos 45o 2F
例3-12 已知: P=10kN,尺寸如图；
求: 桁架各杆件受力。
解: 取整体，画受力图。
Fix 0 FBx 0
M B 0 2P 4FAy 0 FAy 5kN
Fiy 0 FAy FBy P 0 FBy 5kN
取节点A，画受力图。
Fiy 0 FAy F1 sin 300 0
Fiy 0
解得
FAy FBy P1 P2 0 FBy 8kN
用截面法,取桁架左边部分。
ME 0 F1 1 cos300 FAy 1 0
解得 F1 10.4kN(压)

Fiy 0 FAy F2 sin 600 P1 0
解得
F2 1.15kN (拉)
Fix 0 F1 F3 F2 cos 600 0
解得 F1 10kN (压)
Fix 0 F2 F1 cos 300 0
解得 F2 8.66kN(拉)
取节点C,画受力图.
Fix 0 F4 cos 300 F1' cos 300 0
解得 F4 10kN (压)
Fiy 0 F3 F1' F4 sin 300 0
解得 F3 10kN(拉)
A
FAy MA
A FAx
解：研究AB梁，画受力图。
Fx 0, FAx 0
B
Fy 0,
l
FAy qdx 0, FAy ql
0
M A 0,
B
M
A
l 0
xqdx
0,
M
A
1 2
ql2
例3-4
已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力。
解：取AB梁，画受力图。
取节点D,画受力图。
Fix 0 F5 F2' 0
解得 F5 8.66kN (拉)
例3-13
已知: P1 10kN, P2 7kN, 各杆长度均为1m;
求: 1,2,3杆受力。
解: 取整体,求支座约束力。
Fix 0 FAx 0
M B 0 2P1 P2 3FAy 0
解得
FAy 9kN
MB o
FD' x a F 2a 0
得 FD' x 2F
对ADB杆受力图
M A 0 FBx 2a FDx a 0
得 FBx F
例3-19 已知： 荷载与尺寸如图；
求： 每根杆所受力。 解： 取整体，画受力图。
Fix 0 FAx 0
M B 0 8FAy 5*8 10*6 10*4 10*2 0
MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
空间任意力系平衡的充分必要条件：
FR
0
Fx 0
Fy 0
MO
0
MOx(F ) 0
MOy(F ) 0
M x(F) 0 M y (F ) 0,
Fz 0
MOz(F ) 0
M z(F) 0
三、其它力系的平衡条件
Mc 0
FB
sin
600
l
ql
l 2
F
cos
300
2l
0
解得 FB=45.77kN
取整体,画受力图.
Fix 0
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得 FAx 32.89kN
Fiy 0 FAy FB sin 600 2ql F cos300 0
解得
FAy 2.32kN
其中
1
F1
F x
q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN
Fy 0 FAy P F cos 60 0
解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188kN m