力系的平衡
• 平面平行力系 选y轴或者x轴与力系的作用线平行，则
有 X 0或者Y 0, 只有两个独立的平衡方程.
一般式，
二力矩式
M M
( F ) 0 或 B ( F ) 0
A
F 0 M ( F ) 0
y O
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
力系的平衡
• 二力矩的形式
F 0 M ( F ) 0 M (F ) 0
x A B
限制条件：力矩中心A、B 两点的连线不能与投影轴x轴垂 直 y
F2 Fi
o x F1 Fn B A o x
力系的平衡
• 三力矩的形式
M M M
(F ) 0 ( F ) 0 B ( F ) 0 C
2、取汇交点 X = 0 B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： Y= 0
- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN y C
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
x TBD=G
D
A
TBD
FAB
G
E
解二：
X = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 Y= 0
TBC = 9.65 kN - TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
M A 0 M B 0 M C 0
FT sin 30 6 4 P2 3P 1 0 6 FAy 3P 1 2P 2 0 FAx AC 3P 1 4P 2 0
能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？
例题
图示结构 ，若 F P 和l 已知， 确定下面结构的约束力
A
限制条件：力矩中心A、B 、C 三点不在同一条直线上。
B A C
B A C
例题
已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如图，求：BC杆受力及铰 链A受力。
P1 =4kN,
例题
解： 取AB 梁，画受力图。
0 F P P F sin30 0 Fiy 0 Ay 1 2 T 0 F sin 30 6 4 P2 3P MA 0 T 1 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
力系的平衡
• 3.4.2 物体平衡方程的应用
（1）静定问题与静不定问题的概念 1.静定问题 未知量的个数≤独立平衡方程数 2.超静定问题（或静不定问题） 未知量的个数＞独立平衡方程数 • 超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数
力系的平衡
判断下面结构是否静定？
判断下面结构是否静定？
力系的平衡
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
（2）物体系的平衡问题 • 物体系统（物系）：由若干个物体通过适当的约束 相互连接而成的系统 。
物系平衡问题的应用
求解过程中应注意以下几点
首先判断物体系统是否属于静定问题
恰当地选择研究对象
在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则
不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时 应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应 先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分 未知量后，再研究其他物体。
的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC
支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
C
D
600
150
B
B
T E
0 150 BC 15 300
300
TBD=G
A
TBD
FAB G
E
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
FAB = 45 kN
C
600 150
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
B
300
TBD=G E
D
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如
果求出负值，说明物体受压力。
独立平衡方程数
单个物体
平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系 平面力偶系 3 2 2 1
n个物体组成的物 体系统
3n 2n 2n n
M M
x y
(F ) 0 (F ) 0
O z
y
平面任意力系的平衡方程（一般形式）：
F 0 F 0 F 0 F 0 M ( F ) 0 M ( F ) 0
x x y y z 0
可以求解3个未知量
G3 a e
G 3a FNBb G1(b e) 0 G1(b e) G 3a FNB 5 b 由(4)、(5)式 得：
G1
G1(b e) G3 a
A FN A b
B FN B
6
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致 翻倒时， 平衡重的重量G3所应满足的条件为：
DE 0.25 OE
C O B D E
6
O
B
SB
arctg 0.25 142'
ND
D
(b)
由力三角形可得：S sin 180 P B
(a)
sin
P
J

I
ND

K
（5）代入数据求得：
SB
(c)
SB=750 N。
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B
A

24
P
P
A
C O B D
(a)
E
6
O

B
SB
J
P

I
ND

ND
K
D
(b)
SB
(c)
解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
例题
（4）由几何关系得： OE EA 24 P A

24
cm

P
A
tg
NB
BC杆三个反力
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
解：1、取BC杆为研究对象
X 0
XC YC
NB
mC
0 XC
0 N B 2a Pa 0
例题
均质杆AB和BC在B端固结成60°角，A端用绳悬挂，已知 BC=2AB,求当刚杆ABC平衡时，BC与水平面的倾角ɑ。
塔式起重机
已知: G1, G2, a,b,e,L 求：起重机满载时不向右和空 载时不向左翻倒时，平衡重的 重量G3所应满足的条件。 解：以起重机为研究对象
(1)满载时 不翻倒条件：FNA≥0 (1) 由 mB 0 得：
FR 0
MO 0
将上式向x、y、z 轴投影，可得空间任意力系的平衡方程
F F F
x y
z

0 0 0
M M M
(F ) 0 ( F ) 0 y ( F ) 0 z
x
可以求解6个未知量。
力系的平衡
• 空间平行力系
1
FB 8 4 q 6 F 2 0
代入（1）式 FB 375N
M
A
0
FAy 325 N
例题
求图示伸出梁的支座反力。
F1 =5KN F2 =20KN 2m m o =8KN· m q =2KN/m q 1 =4KN/m
A 2m 3m 2m
B 2m
例题
求如图所示悬臂梁的支座反力.
Theoretical Mechanics
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物系平衡问题的应用
受力分析，画隔离体的受力图
①首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 ②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约 束力，切忌凭主观想象画力。 ③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构 件外，通常用二分力表示铰链反力。 ④不画研究对象的内力。