注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz(F ) 0
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
思考题1
若匀质杆AB长为2R，求AB的平衡位置。
AB与水平线夹角α=32.5°
二、平面力偶系 n
平面力偶系合成的结果 : M Mi i1 一个合力偶，其力偶矩等于原力偶系中 所有力偶矩之代数和。
平面力偶系的简化结果：主矩 Mo
平面力偶系的平衡条件： Mo = 0
平衡方程： M 0
例3 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
例1 图a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制动
蹬上的力F =212 N，方向与
水平面成α = 45角。当平衡
时，DA铅直，BC水平，试
求拉杆BC所受的力。已知
EA=24 cm， DE=6 cm
O
点E在铅直线DA上 ，又B 、
C 、D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
F
A
BE C D
24cm 6cm
F F2 60 Ay
Fy
FBy
0
F1
F2
sin
60
0
x 3、解方程，得
FAx
FBy
FAx 0.75 kN
FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l，求固定端的约束力。
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN m
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
3、联立求解。
FA
1 3.8
2G1
2.5G2
5.5G
A
G3 G1 B
G2
G
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
4、不翻倒的条件是：
FA≥0， 所以由上式可得
G≤
1 5.5
2G1
2.5G2
7.5
kN
故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN
例6 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，
F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kN·m， l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及
FB
2、取整体为研究对象
Fx 0
30
Mq
F
A
C
B 60 D
FAx FB cos 60 F sin 30 0
l
MA
FAy M
Fy 0
FAy
FB
sin
60 2ql F cos
30
FAx
0
A
l
M AF 0
ll
l
q
30
F
C
B 60 D
FB
ll
l
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0 解方程得:
FB
sin
F 750 N
解析法 1、取制动蹬 ABD 为研究对象
y
O 45°
2、画受力图
A
3、列出平衡方程
F
建立图示坐标系
Bx
DFB
Fx 0
FB FD cos F cos 45 0
Fy 0
FD sin F sin 45 0
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
支座B的约束力。
F1
ll
F2
M
60
A B
l2
l1
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图。
2、 选取坐标系，列平衡方程。
F1 ll
M
A
B
Fx 0
F2
FAx F2 cos 60 0
60
MA(F) 0
l2
l1
FByl2 M F1l1 F2(l1 l2)sin 60 0
y FAy A
F1 M B
FR' 0
Mo 0
平面任意力系平衡方程基本形式：（一矩式）
Fx= 0 Fy = 0 MO（F）= 0
三个独立的平衡方程，可解 3 个未知量。
平衡方程其他形式：
B
Fx = 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
y
FAy
l
l
A FAx
45
C
FC
x B F
3、解平衡方程，可得
FC 2F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2F 20 kN
FAy F FC sin 45 F 10 kN
例5 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起
重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固 定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸 臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试 求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
G3
G2
G
A
G1
B
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
解1：、取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
2、列平衡方程。
G3
G2
G
A
G1 B
F 0
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
FA FB G G1 G2 G3 0
MB F 0
G(2.5 m 3 m) G2 2.5 m G1 2 m FA(1.8 m 2 m) 0
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
F 3 m G 5 m FBy 6 m FBx 6 m 0 联立求解得: FCx = -FBx = 9.2 kN， FCy= 2.5 kN
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45 0
A
l
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
M A F 0,
l M A ql 2 F cos 45 l M 0
y
M
3、 解方程，得
q FAx
45 F FAx F cos 45 0.707 F
A
l
B x FAy ql 0.707F
MA
FAy
MA
1 2
ql 2
0.707 Fl
M
课堂练习：梁AB上受到一个均布载荷和一
个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位
长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小 M = 500 N·m。求活动铰支座 D 和固定铰支座
忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的
力。
F
A
B
C
D
A
F 解：1、取AB杆为研究对象，
B
C
受力分析如图。
2、 列平衡方程:
D
y
FAy
l
l
AFAx
C 45 FC
建立如图所示的坐标系
Fx 0, FAx FC cos 45 0
Fy 0, FAy FC sin 45 F 0
x B
F MA F 0, FC cos 45 l F 2l 0
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
平面任意力系平衡方程讨论：
Fห้องสมุดไป่ตู้ = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量
平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
4、具有摩擦的平衡问题 5、重心
§3-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
(a)
解： 几何法 1、取制动蹬ABD为研究对象，
并画出受力图。
AF
2、作出相应的力多边形。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD