四川省乐山外国语学校2021-2022高二数学9月月考试题 理第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是 A ．一个圆柱B ．一个圆锥C ．两个圆锥D ．一个圆台2．如图，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是（ ）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．非直角且非等腰的梯形D ．不可能是梯形3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A ．异面B ．相交C ．异面或平行D ．相交或异面4．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③5．过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ）A ．512310x y -+=B ．3y =或43130x y +-=C ．1x =或512310x y -+=D ．1x =或512410x y +-=6．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．106B ．206C ．207D ．4067．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”11B A ACC -体积最大时，则“堑堵”111ABC A B C -的表面积为（ ）A ．442+B ．642+C ．842+D ．862+8．已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A ．22460x y x y +-+=B ．224680x y x y +-++=C ．22460x y x y +--=D ．224680x y x y +-+-=9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13 B ．23C ．34D ．111．如图所示，在四边形ABCD 中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是（）①；②；③与平面A'BD所成的角为30°；④四面体的体积为A.0个B.1个C.2个D.3个12．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A ．212-B．212+C．612-D．312-第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．两圆x2＋y2－2y－3＝0与x2＋y2＝1的位置关系是____________．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________. 14题 15题15．如图，二面角lαβ--等于120︒，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC l⊥，BD l⊥，且1AB AC BD===，则CD的长等于______．16．用一个平面去截一个正方体，截面不可能是：（写出你认为的所有答案）①正三角形②直角三角形③菱形④五边形⑤正五边形⑥正六边形三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知圆221:2880C x y x y+++-=与圆2224420C x y x y+---=：相交于两点.(1)求两圆的公共弦所在直线的方程.(2)求两圆的公共弦长.18．（本小题12分）如图所示，在空间四面体ABCD中，,E F分别是AB，CD的中点，,G H分别是BC，CD上的点，且11,33CG BC CH DC==.求证：（1）,,,E F G H四点共面；（2）直线FH EG AC，，共点.19．（本小题12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C-的侧面11ABB A是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点. （1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （2）当点C 是弧的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，、分别为、中点，．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．21．（本小题12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =12AA =，113BAA CAA π∠=∠=，D ，E 分别为AB ，1A C 中点．（1）求证：DE ∥平面11BB C C ；（2）求证：1AA ⊥面1A BC ，并求AB 与面1A BC 所成的角；（3）若11AA =，6BC =111A BCC B -的体积．22．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．2021-2022度乐山外国语学校高2021届9月月考卷数学（理）参考答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 二、填空题13．内切. 14．38 15．2 16． ②⑤ 三、解答题17．（1）210x y +-=； （2）25(1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 的坐标满足方程组222228804420x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+---=⎩两式相减得210x y +-=. 此方程即为过A,B 两点的直线方程.所以两圆的公共弦所在直线的方程为210x y +-=………………..5分(2)圆C 1可化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆C 1的圆心为1(1,4)C --,半径长15r =.1(1,4)C --)到直线210x y +-=的距离255d ==.则弦长221225AB r d =-=……………….10分 18、（1）连接EF ，GH ，……………..1分E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥..3分又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面…………6分（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH AC M ⋂=，………….8分则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC .∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈ ∴直线FH EG AC ，，共点………….12分19．（1）见解析；（2）23π. （1） AB 为底面圆的直径，∴ AC BC ⊥….1分又 母线1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥且1A A AC A ⋂=，BC ⊥平面1AA C ……..4分∴1A BC ⊥平面1A AC ；…………..5分（2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，∴=柱V 2r h π，……….7分=∴ABC -A 1V 221133r h r h ⨯⨯=，=ABC -C B A 111V 2r h ………….10分=∴111B BCC -A V 2221233r h r h r h -=……11分=∴柱B BCC -A V ：V 11123π．…………12分 20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在；说明见（Ⅰ）连接四边形为正方形 为中点又为中点平面…………………..3分（Ⅱ）如图建立直角坐标系则，，，设平面的法向量又，，即，令，则，即二面角的正弦值为：……….8分（Ⅲ）令，若平面，则，又，方程无解棱上不存在一点，使平面…….12分21．（1）见解析；（2）6π；（3）1 (1)连11,AC BC ,在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 是平行四边形,∴1AC 过1A C 的中点E ,又D 是AB 中点,∴DE 是1ABC ∆的中位线,所以1//DE BC , ∴DE ∥平面11BB C C …………4分(2)在1ABA 中112,3AB AA BAA π=∠=,由余弦定理得113A B ,所以11AA A B ⊥, 同理: 11AA A C ⊥,又 111A C A B A =⋂∴1AA ⊥面1A BC ,∴AB 与面1A BC 所成的角为16ABA π∠=….8分(3)由(2)知11133A B AC AA ==,132A BCS =1AA 是三棱锥1A A BC -的高, 112A A BC V -=,即112A ABC V -=,11132A B C ABC V -= 11131122A BBC C V -=-=……….12分 22．（1）31y x =+（2）3215m n +=（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，圆心O 到直线l 的距离21d k =+，因为37AB =22137216()1AB k ==-+3k =所以直线l 的方程为31y x =+． …4分 . （2）当l 的斜率不存在时，设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =，NB nMB =，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-，所以43m =，45n =，所以3215m n +=． ………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， l ：1y kx =+，因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k-．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+；因为NA mMA =，NB nMB =，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151kx x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+ 综上，3215m n +=．………….12分。