2015年九年级第一次质量预测数学试题卷注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．参考公式：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(−b2a ，4ac−b24a)．一、选择题（每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各组数中，互为相反数的两个数是A．−3和+2 B．5和15C．−6和6 D．−13和122．如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，从正面看到的平面图形为3．黄河农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种麦子，收获后对两种麦子产量（单位：吨／亩）的数据统计如下：x甲=0.61，x乙=0.59，S甲2=0.01，S乙2=0.002，则由上述数据推断乙种麦子产量比较稳定的依据是A．x甲>x乙B．S甲2>S乙2C．x甲>S甲2D．x乙>S乙24．下列各式计算正确的是A．2a+a=3a2B．(−b3)2=−b6C．c2∙c3=c5D．m−n2=m2−n25．如图，∆ABC中，BE、CF分别是么∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=50°，那么∠BDC的度数为A．105°B．115°C．125°D．135°6．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有3名来自莫斯科国立大学，有5名来自圣彼得堡国立大学，现从这8名志愿者中随机抽取1人，这名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是A．14B．15C．18D．387．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =12，BD =8,CD =6,E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 A ．14 B ．18 C ．20 D ．228．观察二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象，下列四个结论中： ①4ac −b 2>0；②4a +c <2b ；③b +c <0；④n (an +b ) −b <a (n ≠1). 正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（每小题3分，共21分） 9．计算2sin30°=________．10．中央电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为________. 11．请你写出一个大于1而小于5的无理数________.12．在平面直角坐标系中，直线y = − 2x +11与直线y =13x +53导的交点坐标为(4，3)，则方程 2x +y =11x −3y =−5的解为________.13．冯老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班方式由自驾车改为骑自行车．已知冯老师家距学校15 km ，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多13h ．如果设骑自行车的速度为x km/h ，则由题意可列方程为________.14．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB =2，BC =3，则△FCB'与△B'DG 的面积之比为________. 15．在平面直角坐标系中，已知点A (-4，2)，B (-2，-2)，以原点O 为位似中心，把△ABO 放大为原来的2倍，则点A 的对应点A'的坐标是________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（本题8分）课堂上，王老师出了这样一道题：已知x = 2015 −5 3，求代数式x 2−2x +1x −1÷ 1+x−3x +1的值， 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”，解答过程如下：原式= x−1 2x +1 x−1 ÷x +1+x−3x +1………………①=x−1x +1÷………………②=x−1x +1×x +12 x−1 …………………………③ =12……………………………………④当x=2015−5=1.2(1)从原式到步骤①，用到的数学知识有：________________；(2)步骤②中的空白处的代数式为：________________；(3)从步骤③到步骤④，用到的数学知识有：________________．17．（本题9分）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图和表格．已知A、B两组户数直方图的高度比为1:5，请结合图表中相关数据回答下列问题：(1)A组的频数是，本次调查样本的容量是________；(2)补全直方图（需标明C组频数）________；(3)若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？18.（本题9分）如图1，小颖将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A'、B’处，线段FB'与AD交于点M.(1)如图1，△MEF的形状是________；(2)如图2，小颖又将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C'、D'处，且使MD'经过点F，请你猜想四边形MNFE的形状，并说明理由；(3)当∠BFE=________度时，四边形MNFE是菱形．19.（本题9分）住在郑东新区的小明想知道“中原第一高楼”有多高，他登上了附近的另一个高层酒店的顶层某处，已知小明所处位置距离地面有160米高，测得“中原第一高楼”顶部的仰角为37°，测得“中原第一高楼”底部的俯角为45°，请你用初中数学知识帮助小明解决这个问题．（请你画出示意图，并说明理由．）(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0. 75)．(k1<0)与一次函y2=k2x+1(k2≠0)相20．（本题9分）如图，已知反比例函数y1=k1x交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值小于一次函数y2的值．21.（本题10分）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满，旅馆装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金总收入增加多少元？22.（本题10分）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上．(1)求S∆DBF；(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S∆DBF；(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S∆DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值.23.（本题11分）已知抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB=2，OC=8，抛物线的对称轴是直线x=−2．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的基础上，试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．2015年九年级第一次质量预测数学 参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1. C2. A3. B4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（每小题3分，共21分）9. 1； 10. ； 11. 答案不唯一，如12. ；13.； 14. 16:9 ； 15．（，）或（，）. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.解：（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质； (写对一个即可)……………… 3分 （2）（或）；………6分 （3）约分（或分式的基本性质）. ………………8分17. 解：（1）A 组的频数是： 2 ；调查样本的容量是： 50 ； ……………………… 4分（2）C 组的频数是：50×40%=20，如图．…………………6分（3）∵ 1500×（28%+8%）=540， ∴ 全社区捐款不少于300元的户数是540户.…………………9分 18. 解：（1）△MEF 是等腰三角形；…………… 2分 （2）四边形MNFE 为平行四边形，…………… 3分 理由如下：∵AD ∥BC ， ∴∠MEF=∠EFB ．由折叠知∠MFE=∠EFB ， 故∠MEF=∠MFE ． ∴ME =MF ，同理NF =MF ．…………… 5分 ∴ME =NF ． 又∵ME ∥NF ，∴四边形MNFE 为平行四边形．…………… 7分 （3） 60．…………… 9分8210⨯π43x y =⎧⎨=⎩1515123x x -=A '8-4A '84-221x x -+2(1)1x x -+19.解：如图所示，…………… 2分AB 代表小明所处位置到地面的距离，即米， CD 代表“中原第一高楼”， ………………… 3分 作AE ⊥CD 于点E.由题意可知，四边形ABDE 是矩形，所以米. 在Rt △ADE 中，∵，， ∴，∴.…………… 5分 在R t △AEC 中，∵，，∴，∴，…………… 7分 ∴（米）， ∴“中原第一高楼”高米. ……………9分20.解：（1）∵点在的图象上，S △ACO =1,∴，又∵，∴. ∴反比例函数的表达式为.……………2分 设点（，），， ∵在R t △AOC 中，，∴， ∵， ∴. ∴(，).∵点(，)在上，∴，∴. ∴一次函数的表达式为. ……………5分 （2）点坐标为（，），……………7分 观察图象可知，当或时，反比例函数的值小于一次函数的值. …………… 9分21.设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会减少6x 间.设装修后客房日租金总收入为y ，……………1分则y =（160＋10x ）（120－6x ），……………4分即y =－60（x －2）2＋19 440. ∵x ≥0，且120－6x ＞0， ∴0≤x ＜20.当x =2时，y max =19 440. ……………7分这时每间客房的日租金为160＋10×2=180（元）. ……………8分装修后比装修前日租金总收入增加19 440－120×160=240（元）. ……………9分160AB =160AB DE ==tan DEDAE AE∠=160DE =160tan 451AE==160AE =tan CEAEC AE∠=160AE =tan 370.75160CE==120CE =120160280CD CE DE =+=+=280A 11ky x=1212k =⨯=10k <12k =-12y x=-A a 2a-0a <tan 2ACAOC OC ∠==22a a-=-0a <1a =-A 1-2A 1-2221y k x =+221k =-+21k =-21y x =-+B 21-1x <-02x <<1y 2y答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高；装修后比装修前日租金总收入增加240元. ……………10分22. 解：（1）∵点在上， ∴∴……………3分 （2）连结， 由题意易知，∴.…………… 6分（3）；.…………… 10分 23. 解：（1）∵点B 在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）. ……… 2分 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2， ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）. ∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上， ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0） 分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 ⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8. ………3分（2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，由勾股定理得AC ＝10，∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC . ∴ EF AC ＝BEAB. 即EF 10＝8－m8 . ∴EF ＝40－5m 4.过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45.∴FG EF ＝45. ∴ FG ＝45×40－5m4＝8－m . ∴ S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）=－12m 2＋4m .…………… 7分自变量m 的取值范围是0＜m ＜8. …………… 8分 （3）存在． …………… 9分理由：∵ S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8，且－12＜0，∴ 当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8.此时,点E 的坐标为（—2,0） …………… 11分F AD AF =3DF =119(3222DBF S DF AB =⨯⨯=-=-△××3AF AF BD ∥92DBF ABD S S ==△△15232x C y 2OB =8OC =。