【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：推理与证明1.(2013北京海淀区5月模拟卷，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是()A. 若m=，则B. 若，则m可以取3个不同的值C. 若，则数列是周期为3的数列D. 且，数列是周期数列2.(2013年山东省高三4月巩固性练习，12,5分) 已知函数若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．B．C．D．3.（2012宁夏高三三模,12, 5分）已知有穷数列A: a1, a2, …, a n(n≥2, n∈N) . 定义如下操作过程T: 从A中任取两项a i, a j, 将的值添在A的最后, 然后删除a i, a j, 这样得到一系列n-1项的新数列A1(约定: 一个数也视作数列) ; 对A1的所有可能结果重复操作过程T, 又得到一系列n-2项的新数列A2; 如此经过k次操作后得到的新数列记作A k. 设A: -, 则A3的可能结果是()A. 0B.C.D.4.(2012大纲全国, 12, 5分) 正方形ABCD的边长为1, 点E在边AB上, 点F在边BC上, AE=BF=. 动点P从E出发沿直线向F运动, 每当碰到正方形的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角. 当点P第一次碰到E时, P与正方形的边碰撞的次数为()A. 8B. 6C. 4D. 35. (2007上海, 15, 4分)设f(x)是定义在正整数集上的函数, 且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时, 总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”. 那么, 下列命题总成立的是()A. 若f(1)<1成立, 则f(10)<100成立B. 若f(2)<4成立, 则f(1)≥1成立C. 若f(3)≥9成立, 则当k≥1时, 均有f(k)≥k2成立D. 若f(4)≥25成立, 则当k≥4时, 均有f(k)≥k2成立6.(2013年广东省广州市高三4月综合测试，13,5分) 数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．7.(2013年山东省高三4月巩固性练习，16,5分) 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.8.(2013年湖北七市高三4月联合考试，16,5分) 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图) ，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=a1(b1-b2) +L2(b2-b3) +L3(b3-b4) +…+L n-1(b n-1-b n) +L n b n，则其中：(I) L3=；(Ⅱ) L n=．9.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，17,5分）如图所示，将数以斜线作如下分群：(1) ，(2，3) ，(4，6，5) ，（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，则第7群中的第2项是；第群中个数的和是.…10.(2013山东青岛高三三月质量检测，16,5分) 给出以下命题：①双曲线的渐近线方程为；②命题“，” 是真命题；③已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；④已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11.(2012江西省临川一中，师大附中高三联考，14,5分)若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：_______.12.（2012山东省济南市第二次模拟，16,5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n个等式为__________.13. （2013高考仿真卷四, 16, 5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第n行有n个数且两端的数均为(n≥2) , 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如=+=+=+, …, 则第10行第3个数(从左往右数) 为.…………14.(2012湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a k×2k+a k-1×2k-1+…+a1×21+a0×20, 当i=k时, a i=1, 当0≤i≤k-1时, a i为0或1. 定义b n如下: 在n的上述表示中, 当a0, a1, a2, …, a k中等于1的个数为奇数时, b n=1; 否则b n=0.(1) b2+b4+b6+b8=;(2) 记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数, 则c m的最大值是.15. (2012湖北, 17, 5分) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6, 10, …记为数列{a n}, 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:(1) b2 012是数列{a n}中的第项;(2) b2k-1=. (用k表示)16.(2010上海, 12, 4分)在n行n列矩阵中, 记位于第i行第j列的数为a ij(i, j=1, 2, …, n). 当n=9时,a11+a22+a33+…+a99=.17.(2010福建, 16, 5分)观察下列等式:①cos 2α=2cos2α-1;②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测, m-n+p=.18.(2013北京海淀区5月模拟卷，20,13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作” 后所得的数表（写出一种方法即可）；(Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ) 对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.19.(2013北京西城区高三三月模拟，20，13分）已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（Ⅰ）当时，设，，求；（Ⅱ）证明：若，且，使，则；（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．20.21.22. 已知△ABC的三边长为有理数.(Ⅰ)求证:cos A是有理数;(Ⅱ)求证:对任意正整数n, cos nA是有理数.23.(2012北京西城区第二次模拟，20,14分)若正整数，则称为的一个“分解积”．（Ⅰ）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（Ⅲ）对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大．24. (2012北京海淀区期末卷，20，14分）将一个正整数表示为a1+a2+…+a p(p∈N*)的形式，其中a i ∈N*，，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（Ⅰ）写出的值，并说明理由；（Ⅱ）证明：f(n-1)-f(n)≧1（）；（Ⅲ）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明．25.(2012山东, 22, 13分) 已知函数f(x) =(k为常数, e=2. 718 28…是自然对数的底数) , 曲线y=f(x) 在点(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行.(1) 求k的值;(2) 求f(x) 的单调区间;(3) 设g(x) =xf '(x) , 其中f '(x) 为f(x) 的导函数. 证明: 对任意x>0, g(x) <1+e-2.26.(2012陕西, 21, 14分) 设函数f(x) =x n+bx+c(n∈N+, b, c∈R) .(1) 设n≥2, b=1, c=-1, 证明:f(x) 在区间内存在唯一零点;(2) 设n为偶数, |f(-1) |≤1, |f(1) |≤1, 求b+3c的最小值和最大值;(3) 设n=2, 若对任意x1, x2∈[-1, 1], 有|f(x1) -f(x2) |≤4, 求b的取值范围.27. (2008上海, 21, 18分)已知数列{a n}∶a1=1, a2=2, a3=r, a n+3=a n+2(n是正整数), 与数列{b n}∶b1=1,b2=0, b3=-1, b4=0, b n+4=b n(n是正整数). 记T n=b1a1+b2a2+b3a3+…+b n a n.(Ⅰ)若a1+a2+a3+…+a12=64, 求r的值;(Ⅱ)求证:当n是正整数时, T12n=-4n;(Ⅲ)已知r>0, 且存在正整数m, 使得在T12m+1, T12m+2, …, T12m+12中有4项为100. 求r的值, 并指出哪4项为100.答案1.D2.C3.B4.B5. D6.36;39817.98.（Ⅰ）；（Ⅱ）9.，10. ①③④11.12.13.14.(1) 3(2) 215.(1) 5 030(2)16. 4517. 96218.（I）每一列所有数之和分别为-1，3，3，-6，每一行所有数之和分别为，0. 方法1：方法2：方法3：（写出一种即可）……………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1.因为必须经过两次“操作” ，所以要操作第三列和第一行.①如果操作第三列，则有：所以第一行之和为，第二行之和为，所以解得，又是整数，所以.②如果操作第一行，则有：所以每一列之和分别为，，，，所以解得.综上所得，.…………………10分(III) 能，理由如下：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止, 终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.…………………13分19.（Ⅰ）由于，则，即．…………3分（Ⅱ）设，，．因为，使，所以，使得，所以，使得，其中．所以与同为非负数或同为负数．所以，所以．………8分（Ⅲ）解法一．设中有项为非负数，项为负数．不妨设时，；时，．所以因为，所以，整理得．所以．因为；又，所以．即．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分解法二首先证明如下引理：设，则有．证明：因为，，所以，即．所以．上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分20.解法一：（Ⅰ）因为动点点到定点的距离与到定直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为即曲线的方程为．………4分（Ⅱ）假设是直角三角形，不妨设，则，则.设，，，必有，，则，，所以．又，则所以，所以，又，，所以，所以，整理得……………………………8分又,所以.又，所以.所以，所以，即．所以，①又，] 所以，整理得即．②由①②得，所以．③设，则有，则．所以无解，所以方程③无解，所以假设不成立，所以△ABC不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设，，，由，得，．当轴时，，，从而，，即点的坐标为．由于点在上，所以，即，此时，，，所以,很明显此时△ABC不可能是直角三角形．…………8分当与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入，整理得：，则．假设，则直线的斜率为，同理可得：．由，得，，．由，可得．从而，整理得：，即，①设，则，则．所以方程无解，所以方程①无解，所以假设不成立，不可能是直角.同理可证和也不可能是直角，综合得可知不可能是直角三角形．…………………12分21.（1）对任意正整数，有，.所以数列是首项,公差为等差数列；数列是首项,公比为的等比数列.所以对任意正整数，有,.所以数列的通项公式为:或…………………………3分对任意正整数,..所以数列的前项和为:.或.7分(2) 由（1）得，，则有：所以必有，又，则①当时, ,即；②当时,，令,解得，则有；③当时, 则，假设存在,使得从而,得,所以，所以，所以，所以,此时.综上可知, 存在正整数，使得，并且正整数对只有两对：与…………………14分：22. .(Ⅰ)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A=是有理数.(Ⅱ)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.①当n=1时, 由(Ⅰ)知cos A是有理数, 从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.②假设当n=k(k≥1)时, cos kA和sin A·sin kA都是有理数.当n=k+1时, 由cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA,sin A·sin(k+1)A=sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A, 及①和归纳假设, 知cos(k+1)A与sin A·sin(k+1)A都是有理数. 即当n=k+1时, 结论成立.综合①、②可知, 对任意正整数n, cos nA是有理数.23.（Ⅰ）则当6=3+3时，6的分解积取最大值；………………1分同理可得，当时，7的分解积取最大值；………………2分当时，8的分解积取最大值．………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当7的分解积最大时，.所以中可以有个．………………4分假设有个或个以上的时，因为，且，所以，此时分解积不是最大的．所以假设不成立，因此，中至多有个．………………7分（Ⅲ）①当中有时，因为，且，所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大．………………8分②由（Ⅱ）可知，中至多有个．③当中有时，若将分解为，由①可知分解积不会最大；若将分解为，则分解积相同；若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大．因此，中至多有个，而且可以写成．………………10分④当中有大于的数时，不妨设，则有，所以将分解为会使得分解积更大．………………11分综上所述，中只能出现或或，且不能超过个，不能超过个．于是，当时，使得分解积最大；…………12分当时，使得分解积最大；………………13分当时，使得分解积最大．………………14分24.（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以．……………………………………3分（Ⅱ）证明：因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数.即．……………………………………8分（Ⅲ）结论是.证明如下：由结论知，只需证由（Ⅱ）知：表示的是的表示法中的表示法数，表示的是的表示法中的表示法数．考虑到，把一个的的表示法中的加上1，就可变为一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应，所以有即……………………………………14分25.(1) 由f(x) =,得f '(x) =, x∈(0, +∞) ,由于曲线y=f(x) 在(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行,所以f '(1) =0, 因此k=1.(2) 由(1) 得f '(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) ,令h(x) =1-x-xln x, x∈(0, +∞) ,当x∈(0, 1) 时, h(x) >0;当x∈(1, +∞) 时, h(x) <0.又e x>0,所以x∈(0, 1) 时, f '(x) >0;x∈(1, +∞) 时, f '(x) <0.因此f(x) 的单调递增区间为(0, 1) , 单调递减区间为(1, +∞) .(3) 证明: 因为g(x) =xf '(x) ,所以g(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) .由(2) h(x) =1-x-xln x,求导得h'(x) =-ln x-2=-(ln x-ln e-2) ,所以当x∈(0, e-2) 时, h'(x) >0, 函数h(x) 单调递增;当x∈(e-2, +∞) 时, h'(x) <0, 函数h(x) 单调递减.所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) ≤h(e-2) =1+e-2.又当x∈(0, +∞) 时, 0<<1,所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) <1+e-2, 即g(x) <1+e-2.综上所述结论成立.26.(1) 当b=1, c=-1, n≥2时,f(x) =x n+x-1.∵f f(1) =×1<0,∴f(x) 在内存在零点.又当x∈时, f '(x) =nx n-1+1>0,∴f(x) 在上是单调递增的,∴f(x) 在内存在唯一零点.(2) 解法一: 由题意知即由图象知, b+3c在点(0, -2) 取到最小值-6, 在点(0, 0) 取到最大值0,∴b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法二: 由题意知-1≤f(1) =1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0, ①-1≤f(-1) =1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0, ②①×2+②得-6≤2(b+c) +(-b+c) =b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法三: 由题意知解得b=,c=,∴b+3c=2f(1) +f(-1) -3.又∵-1≤f(-1) ≤1, -1≤f(1) ≤1,∴-6≤b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.(3) 当n=2时,f(x) =x2+bx+c.对任意x1, x2∈[-1, 1]都有|f(x1) -f(x2) |≤4等价于f(x) 在[-1, 1]上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下:(i) 当>1, 即|b|>2时, M=|f(1) -f(-1) |=2|b|>4, 与题设矛盾.(ii) 当-1≤-<0, 即0时,M=f(1) -f=≤4恒成立.(iii) 当0≤-≤1, 即-2≤b≤0时,M=f(-1) -f=≤4恒成立.综上可知, -2≤b≤2.注: (ii) (iii) 也可合并证明如下:用max{a, b}表示a, b中的较大者.当-1≤-≤1, 即-2≤b≤2时,M=max{f(1) ,f(-1) }-f=+-f=1+c+|b|-=≤4恒成立.27.(Ⅰ)a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.∵48+4r=64, ∴r=4.(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明:当n∈Z+时, T12n=-4n.①当n=1时, T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4, 等式成立.②假设n=k时等式成立, 即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11 =-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8) =-4k-4=-4(k+1), 等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈Z+时, T12n=-4n. (Ⅲ)T12m=-4m(m≥1).当n=12m+1, 12m+2时, T n=4m+1;当n=12m+3, 12m+4时, T n=-4m+1-r;当n=12m+5, 12m+6时, T n=4m+5-r;当n=12m+7, 12m+8时, T n=-4m-r;当n=12m+9, 12m+10时, T n=4m+4;当n=12m+11, 12m+12时, T n=-4m-4.∵4m+1是奇数, -4m+1-r, -4m-r, -4m-4均为负数, ∴这些项均不可能取到100.∴4m+5-r=4m+4=100, 解得m=24, r=1,此时T293, T294, T297, T298为100.。