北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。

9. 双曲线3x 2-y 2=-3的渐近线方程为________。

10. 设常数a ∈R 。

若（x 2+xa ）5的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a=________。

11. 设F 1，F 2分别是椭圆7y 16x 22+=1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且21PF PF ⋅=0，则|1PF +2PF |=_________。

12. 若双曲线4y 9x 22-=1与直线y=kx-l 有且仅有一个公共点，则这样的直线有________条。

13. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么当点P 到点Q （3，4）的距离与点P 到抛物线准线的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_______。

14. 下列三个命题中：①“k=l ”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件； ③函数y=3x 4x 22++的最小值为2。

其中是假命题的有_______。

（将你认为是假命题的序号都填上）三、解答题共5小题，每小题10分，共50分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）=log a x （a>0且a ≠1）在（0，+∞）上单调递增。

若p ∨q 为真，而p ∧q 为假，求实数a 的取值范围。

16. 已知P 是椭圆1y 4x 22=+上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点。

（1）当∠F 1PF 2=60°时，求△F 1PF 2的面积；（2）当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围。

17. 如图所示，在Rt △ABC 中，已知点A （-2，0），直角顶点B （0，-22），点C 在x 轴上。

（1）求Rt △ABC 外接圆的方程；（2）求过点（-4，0）且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程。

18. 定长为2的线段AB 的两个端点在以点（0，81）为焦点的抛物线x 2=2py 上移动，记线段AB的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，23）在椭圆C 上。

（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为7212，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

参考答案1. A2. A3. B4. C5. D6. D7. B8. A9. 3x ±y=0 10. -2 11. 6 12. 4 13. （253+，5+1） 14. ①②③. 15. 若p 为真，则△=（2a ）2-42<0，即-2<a<2。

若q 为真，则a>1。

因为p ∨q 为真，而p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假。

当p 真q 假时，⎩⎨⎧<<<<-,,1a 02a 2所以0<a<1。

当p 假q 真时，⎩⎨⎧>≥-≤,,1a 2a 2a 或所以a ≥2。

综上，a 的取值范围为（0，1） [2，+∞）。

16. （1）由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=4且F 1（-3，0），F 2（3，0）。

① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2| cos60°。

②由①②得|PF 1|·|PF 2|=34。

所以21F PF S ∆=|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=33。

（2）设点P （x ，y ），由已知∠F 1PF 2为钝角， 得21PF PF ⋅<0，即（x+3，y ）·（x-3，y ）<0。

又y 2=1-4x 2，所以43x 2<2，解得-362<x<362。

所以点P 横坐标的取值范围是（-362，362）。

17. （1）设点C （a ，0），由AB ⊥BC 可得k AB ·k BC =-1，即222-·a 22=-1，解得a=4。

则所求的圆的圆心为AC 的中点（1，0），半径为3，所求圆的方程为（x-1）2+y 2=9。

（2）由题意知直线的斜率存在，设所求直线的方程为y=k （x+4），即kx-y+4k=0。

当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以1k k 52+||=3，解得k=±43， 所求直线的方程为y=43（x+4）或y=-43（x+4），即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0。

18. 依题意可得抛物线的方程为x 2=21y 。

设直线AB 的方程为y=kx+b （k ∈R ）， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y y 21x 2,得2x 2-kx-b=0。

设A （x 1,y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-2b ,y 1+y 2=b 22k 2+。

因为|AB|=2,所以（1+k 2）[（x 1+x 2）2-4x 1x 2]=4，所以b=8k 1k 222-+， 所以y M =8k 1k 24k b 4k 2y y 222221-++=+=+ =87811k 281k 2811k 281k 2222=-+⋅+≥-+++。

当且仅当81k 2+=1k 22+即k=±3时取等号， 所以点M 到x 轴的最短距离为87，此时点M 的坐标为（43±，87）。

19. （1）设椭圆的方程为2222by a x +=1（a>b>0），由题意可得： 椭圆C 两焦点坐标分别为F 1（-1；0），F 2（1，0）。

所以2a=42325231123112222=+=+-+++）（）（）（）（所以a=2，又c=1，b 2=4-1=3， 故椭圆的方程为13y 4x 22=+。

（2）当直线l ⊥x 轴，计算得到：A （-l ，-23），B （-1，23）， 32321F F AB 21S 21B AF 2=⨯⨯=⋅⋅=∆||||，不符合题意。

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x+1），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13y 4x )1k(x y 22,消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2-12=0, 显然△>0成立，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则x 1+x 2=22k 43k 8+-，x 1·x 2=22k 4312k 4+-， 又|AB|=222242212212k 43)12k 4(4)k 43(k 64k 1x x 4)x (x k 1+--+⋅+=⋅-+⋅+, 即|AB|=22222k 43)1(k 12k 431k 12k 1++=++⋅+， 又圆F 2的半径r=22k 1k 2k 1k 01k +=++-⨯||||， 所以7212k 43k 1k 12k 1k 2k 43)1(k 1221r AB 21S 22222B AF 2=++=+⋅++⨯==∆||||||， 化简，得17k 4+k 2-18=0，即（k 2-1）（17k 2+18）=0，解得k=±1， 所以，r=2k 1k 22=+||，故圆F 2的方程为：（x-1）2+y 2=2。