数论基础教学大纲
(Basic Number Theory)

课程代码 318.113.1 编写时间
课程名称 数论基础
英文名称 Basic Number Theory
学分数 3 周学时 3
任课教师* 王巨平 开课院系** 数学学院
预修课程 线性代数，抽象代数
课程性质：
本课程是数学系的一门选修课, 讲授数论的基础内容, 要求学生已经
掌握线性代数，抽象代数和一些复分析的初等内容。
基本要求和教学目的：
要求学生掌握课程基本内容，能熟练应用中国剩余定理, Gauss 二次
互反律和算术基本定理，能具体分解一些低维数域的理想，并且求其类数，
了解分圆域的初等性质。
介绍初等数论和代数数论的基础知识, 为进一步学习现代数论打好必
要的基础。
课程基本内容简介：
本课程的内容包括初等数论和代数数论初步两个部分, 前者包括：整
除性质, 算术基本定理, 同余理论, 中国剩余定理, Gauss 二次互反律
等。后者包括：代数数论的基本概念，如代数整数环，类数(class number)，
单位(unit), 数域的Dedikind Zeta函数等，以及Dedikind 的理想分解
定理，类数公式，Dirichlet单位定理和 Dedikind Zeta函数的简单性质。
教学方式: 课堂教学
教材和教学参考资料：
作者 教材名称 出版社 出版年月
教材 Erich Hecke Lectures on the Theory of Algebraic Numbers Springer 1997

参考资料 闵嗣鹤 严士健 初等数论 高等教育 出版社 1982.9

教学内容安排：
第一周： 整数的可除性，算术基本定理
第二周： 不定方程，同余方程，Euler 定理，Fermat小定理，循环小数
第三周： 中国剩余定理，原根 (primitive root)
第四周： 二次同余，平方剩余，平方非剩余，Gauss 二次互反律
第五周： 高次同余，交换群，群特征
第六周： 代数数的概念，共轭元 (conjugate numbers)，本原元定理
第七周： 代数数域，初等对称多项式，若干例子
第八周： 代数数域的算术，代数整数环，整除性，单位
第九周： 数域的判别式，整基
第十周： 判别式，整基的计算
第十一周：理想的基本性质，理想的乘积，素理想，理想的整除等
第十二周：理想理论的基本定理
第十三周：理想理论的基本定理的应用
第十四周：一个分解定理：一个具体的分解方法的介绍
第十五周：关于理想的同余方程
第十六周：类数，类群
第十七周：Dirichlet单位定理
第十八周：理想的密度，Dedikind Zeta函数的若干性质
第十九周：一个例子：二次数域
第二十周：又一个例子：分圆域
……（按此格式）

作业和考核方式：考试（笔试）

*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。