条件概率
【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样．
(1)这个家庭一男一女的概率是多少？
(2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2
3
.
(1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．
(2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝
P AB
P B
.
独立事件
【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？
【提示】 没有影响．
(1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．
(3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).
应用
在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地
取两次，每次任取一件，试求：
(1)第一次取到不合格品的概率；
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题．
【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B .
(1)P (A )＝5
100
＝0.05.
(2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为
4
99
，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499
.
法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB
P A ＝5100×
4995100
＝499
.
1．注意抽取方式是“不放回”地抽取．
2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝
n AB
n A
，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．
在例1题设的条件下，试求在第一次取到合格品后，第二次取到不合格品的概率．
【解】 法一 第一次取走1件合格品后，还剩下99件产品，其中有5件不合格品，于是第二次取到不合格品的概率为599
.
法二 ∵P (A B )＝95100×5
99，∴P (B |A )＝
P A B P
A
＝95100×5
9995100
＝599.
对于下列给出的两个事件：
①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A 表示“甲同学做对”，事件B 表示“乙同学做对”；
②在某次抽奖活动中，记事件A 表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B 表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；
③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A ，B 分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；
④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M 和N 中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A 和B .
其中事件A 和事件B 相互独立的是( )
A ．①②
B ．①④
C ．③④
D ．仅有① 【自主解答】 序号 判断 原因分析
① √ 事件A 的发生对事件B 发生的概率无影响
② × A 与B 互斥
③ × 事件A 的发生对事件B 发生的概率有影响 ④
√
事件A 的发生对事件B 发生的概率无影响
判断两个事件是不是相互独立有以下两种方法：
(1)由定义，若P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 与B 相互独立．
(2)由事件本身的性质直接判断，也就是判断一个事件的发生对另一个事件有没有影响．
下列事件A ，B 是独立事件的是( )
A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，
B ＝“第二次为反面” B ．袋中有4个小球，其中2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”
1．求解某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系，即两事件是互斥事有n位同学参加某项选拔测试，
C ．p n
D ．1－(1－p )n
【解析】 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n
.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学通过测试的概率为1－(1－p )n
. 课堂小结：
1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在
A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件
B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知其条件概率为：
P (B |A )＝n AB
n A ＝
n
AB
n Ω
n
A
n
Ω
＝
P AB
P A
，其中n (Ω)为一次试验可能出现的
结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．
2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与
B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．
3．求事件概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解． 作业布置：
1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )
A.18
B.14
C.25
D.12
【解析】 事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件
B 包含(2,4)一个基本事件．∴P (B |A )＝P A ∩B P A ＝1
4
.
2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )
A.16
B.25
C.215
D.5
6
【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (A ∩B )＝P (A )×P (B )＝2
4×
26＝16
. 3．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝2
3
，则P (A ·B )＝________；
P (A ·B )＝________.。