条件概率与独立事件
一、条件概率
1.条件概率 条件概率
对任意事件A和事件 ，在已知事件B发生的 对任意事件 和事件B，在已知事件 发生的 和事件 条件下事件A 发生的条件概率”，叫做条件概率。 条件下事件 发生的条件概率” 叫做条件概率。 条件概率 记作P(A|B). 记作
2.事件的交（积） 事件的交（ 事件的交
有甲、乙两批种子，发芽率分别是0．8和 0．7，在两批种子中各取一粒，A=由甲批中 取出一个能发芽的种子，B=由乙批中抽出一 个能发芽的种子，问⑴是否互相独立？⑵两粒 种子都能发芽的概率？⑶至少有一粒种子发芽 的概率？⑷恰好有一粒种子发芽的概率？ 解：⑴A、B两事件不互斥，是互相独立事件 ⑵∵A·B=两粒种子都能发芽 ∴P（A·B）=P（A）·P（B） =0．8×0．7=0．56 ⑶1 – P（A· B）=1- P（A）·P（B）=1-（1-0．8）（1-0．7） =0．94 ⑷P（A· B）+P（A·B）=P（A）P（B）+P（A）P（B） =0．8（1-0．7）+（1-0．6）0．7=0．38 答：两粒种子都能发芽的概率是0．56；至 少有一粒种子能发芽的概率是0．94；恰好 有一粒种子能发芽的概率是0．38
P( AB) P( B ) P ( B A) = = = 0.8 P( A) P( A)
Ω
5
B
0.56
0.7
A
二、独立事件
A：表示取出的牌是“Q”；B：表示取出的牌是红桃。 ：表示取出的牌是“ ； ：表示取出的牌是红桃。
1 13 1 4 1 P (B) = = P ( AB) = P ( A) = = 52 52 4 52 13 1 P ( AB) 52 1 = = P( A | B) = = P ( A) 1 13 P( B) (B 4 P( AB) = P( A) P( A | B) = P( A) P( B)
B发生时A发生的条件概率 A发生的概率
P( AB) = P( A) P( B)
则称A， 相互独立 则称 ，B相互独立
如果A，B相互独立，则A与 B ， 与B， A与 B 也相互独立。 A
一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从 袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的 是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B， 试问A与B是不是相互独立事件？
P(A|B)相当于把 看作新的 相当于把B看作新的 相当于把 基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的 基本事件空间 求 Ｂ 概率 在B发生的条件下A包含的样本点数 P( A | B)＝ 在B发生的条件下样本点数 AB包含的样本点数 ＝ B包含的样本点数
AB包含的样本点数/总数 P AB） （ ＝ ＝ B包含的样本点数/总数 P B） （
答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事件B的 概率P（B）=1/3，而当事件A不发生时（即第一个取到的是 黑球），事件B发生的概率P（B）=2/3，也就是说，事件A发 生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事 件。
制造一种零件，甲机床的正品率是0．9，乙机床的正 品率是0．95，从它们制造的产品中各任抽一件，（1） 两件都是正品的概率是多少？（2）恰有一件是正品 的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件 是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品，则 A与B是独立事件 ⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855 ⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(1 - 0．9) ×0．95 =0．14 另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14 答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率是0．14
解
P( AB) 70 100 P( B A) = = ≈ 0.7368 P( A) 95 100
B
A
5
1.某种动物出生之后活到 岁的概率为 ， 某种动物出生之后活到20岁的概率为 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为 活到 岁的概率为0.56，求现年为 岁的这种 岁的概率为 ，求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 动物活到 岁的概率。 岁的概率 表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56 所求概率为
P(AB) P(A)
6 = 4 =1 1 1 1 1 1 6
变式:若已知取得是玻璃球 求取得是篮球的概率 变式 若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率 若已知取得是玻璃球 求取得是篮球的概率.
P(A| B) =
P(AB) P(B)
4 4 6 =1 = 6 6 1 6
件一等品， 件二等品，规定一、 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、 二等品为合格品．从中任取1 二等品为合格品．从中任取 件，求 (1) 取得一等品的 概率； 已知取得的是合格品， 概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概 率． 表示取得一等品， 表示取得合格品 表示取得合格品， 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 表示取得一等品 70 P = 0.7 （1）因为 因为100 件产品中有 70 件一等品， ( B ) = 件一等品， 因为 100 （2）方法1： 因为 件合格品中有 70 件一等品，所以 方法1： 因为95 方法 件一等品， Q B ⊂ A ∴ AB = B 70 P ( B A) = = 0.7368 Ω 95 方法2： 方法 ： 70 95
由事件A和事件 同时发生所构成的事件称为 由事件 和事件B同时发生所构成的事件称为 和事件 记作A∩B或AB 事件A与事件 与事件B的交 事件 与事件 的交 。 记作 或

3.条件概率计算公式 条件概率计算公式: 条件概率计算公式
P( AB) P( A | B) = P( B)
P( AB) P( A | B) = P( B)
盒中有球如表. 盒中有球如表 任取一球 玻璃 红 蓝 总计 2 4 6 木质 3 7 10 总计 5 11 16
若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率 若已知取得是蓝球 问该球是玻璃球的概率. 问该球是玻璃球的概率
A:取得是蓝球 取得是玻璃球 取得是蓝球,B:取得是玻璃球 取得是蓝球 4
P(B| A) =