条件概率与独立事件 (1)
用A表示"取出牌“Q”",用B表示"取出的是红桃",是
P( AB) 1 P( A B ) P( B ) 13
4 1 我们知道52张牌中有4个Q ,所以: P( A) 52 13 易看出此时: 说明事件B的发生 P( A B) P( A) 不影响A的发生
而此时有:
P( AB ) P( A) P( B )
练习1.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥 事件,(2)是否为对立事件,并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各4张) 中任取1张: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
关于条件概率的计Байду номын сангаас, 往往采 用如下两种方法:(1) 在缩减的 样本空间上直接计算。(2) 利用 公式计算。
B
0.56 0.7
A
概率 P( A B ) 与 P( AB )的区别与联系
联系:事件 A , B 都发生了。 区别:
B 先 A 后;而在 P( AB ) 中,事件 A, B 同时发生。
(2)样本空间不同,在 P( A B ) 中,事件 B 成为样本 空间;在 P( AB )中,样本空间为所有事件的总和。 因而有
1 2 n 1 2 n
思考讨论:
将一枚均匀硬币掷4次,有人认为:“第一次出现
正面,第二次出现反面,第三次出现正面,第四次出
现反面” 发生的概率比 “第四次出现正面” 的概率大,
你认为这种说法正确么??
小结
* 条件概率: 当事件B发生时,事件A发生的概率: P( A B ) 当 P( B ) 0 时,P( A B ) 。 P( B ) * 独立事件的概率: 若A的发生与B的发生互不影响,称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率:P( AB ) P( A) P( B ) 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n , 则有 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
解:
(1)是互斥事件 (2)是互斥事件 (3)不是互斥事件
不是对立事件 是对立事件 不是对立事件
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所以对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.
1.3事件的并:
由事件A和B至少有一个发生(A发生,或B发生,或A、B都 发生)所构成的事件C,称为事件A与B的并事件(或和事件) 记作C=A∪B(或C=A+B).事件A∪B是由事件A或B所包含的 基本事件所组成的集合. 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
C.0.97 D.0.96
B.0.98
4.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别0.3,0.3,0.2, 那么他射击一次不够8环的概率是 0.2 。 5.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概 率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次 射击中: 0.52 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率; 0.87 (3)射中环数不足8环的概率. 0.29
概括
求B发生的条件下,A发生的概率,称为B发
P( A B ) ,其中, P( B )
生时A发生的条件概率,记为 P( A B)。 当 P( B ) 0 时, P( A B )
A B 可记为 AB 。
P( AB) 类似地 P( A ) 0 时, P( B A) 。 P( A )
对立事件与互斥事 件
对立事件: 如果“事件A与B满足: A∩B=φ 且 A B Ω 则称事件A与B互为 对立事件。 又称互为逆事件. 互斥事件:
如果“事件A与B在一次试验中不能同时 发生”,即A∩B=φ,则称事件A与B互为互斥 事件。又称互不相容事件
例题选讲:
1:判断下列给出的事件是否为互斥事 件, 是否为对立事件,并说明道理. 从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点 数从1~10各10张)中,任取一张. (1)”抽出红桃”与”抽出黑桃”; (2)”抽出红色牌”与”抽出黑色牌” (3)”抽出牌点数为5的倍数”与”抽出 的牌点数大于9”.
1.2对立事件:
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与 事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作: A ,这里
BA
例如:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A为“出现 奇数点”,事件B为“出现偶数点”. A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,所以事件A和B互为 对立事件 问:互为对立的两个事件一定是互斥事件吗? 是
P(C)=P(A)+P(B)=1/2 (2)C与D也是互斥事件,又由于C∪D为必然事件,所以C 与D互为对立事件,所以
P(D)=1-P(C)=1/2
三、巩固练习
1 1 1.甲、乙2人下棋,下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 3 2
则甲不胜的概率是(
B)
1 A. 2
5 B. 6
1 C. 6
2 D. 3
1.1互斥事件
一、基本概念
问题1:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A 为“出现奇数点”,B为“出现2点”.事件A和事 不可能同时发生 件B可以同时发生吗?
我们把不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事 件.(或互不相容事件). 我们知道任何事件都可以看成是由基本事件为元素构 成的集合,如果A、B互斥,则A B _____ 事件A、B互斥 集合A、B的交为空集 判断
2.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则A的对立事件为 (
B)
A.至多两件次品 B.至多一件次品
C.至多两件正品
D.至少两件正品
3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中
出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01,则对成品抽查
一件抽得正品的概率为( A.0.09
D)
例2. 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击中目标的概率
都是0.6,计算:
(1) 2 人都击中目标的概率;
(2)其中恰有1人击中目标的概率;
(3)至少有一人击中目标的概率。
互斥事件 概念
不可能同时发生 的两个事件叫做 互斥事件.
相互独立事件
A发生时B发生的概率
1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P(B) 0.56
P( AB) P( B) 0.8 所求概率为 P( B A) P( A) P( A)
① 篮球比赛的“罚球两次”中, 事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了。
② 在三月份的月考较量中,
事件A:同学甲获得第一名;
事件B:同学乙获得第一名。
③ 袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球, 事件A:第一次从中任取一个球是白球; 事件B:第二次从中任取一个球是白球。 ④ 甲坛子里有 3 个红球, 2 个黄球,乙坛子里也有 3
知它的质量合格,那么它的
长度合格的概率是多少?
分析:
在集合中,“都”代表着“交”,则A、 B同时发生为A∩B。 {产品的长度合格} A=
B={产品的质量合格}
100个产品中有93个产品的长度合格,90个产 品的质量合格,85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品,若已知它的质量合格,那么它的 长度合格的概率是多少? A∩B={产品的长度、质量都合格}
P( AB ) P( A) P( B ) 0.4 0.4 0.16
推广: 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式,
若 A 、B 相互独立,则有 P( AB ) P( A) P( B )
事实上,对于多个独立事件,公式也是成立的。 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n , 则有 P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A )
Ω的基本事件总数n=6,事件A、B、A∪B的基本事件数分 别为1,3,4. 1 3 4 2 P( A) , P( B) , P( A B) 6 6 6 3
即:P( A B) P( A) P( B)
大量实验证实,上述公式对任意两个互斥事件A、B都 成立.即:
P( A B) P( A) P( B)
任取一个产品,已知它的质量合格(即B发生), 则它的长度合格(即A发生)的概率是 85 。 90 考虑: 这个概率与事件A、B的概率有什么关系么?
93 90 85 P( A) , P( B) , P( A B) 由已知可得: 100 100 100
容易发现:
85 85 100 P( A B ) 90 90 P( B ) 100
(1)在 P( A B ) 中,事件 A , B发生有时间上的差异,
P( A B ) P( AB )
问题2: 从一副扑克牌(去掉大小王)中随机抽取1张,
否可以利用P ( B ), P ( AB ) 来计算 P( A B ) ??
13 1 分析: 剩余的52张牌中,有13张红桃,则 P( B ) 52 4 52张牌中红桃Q只有1张,则 P( AB ) 1 52 由条件概率公式知,当取出牌是红桃时为Q的概率为:
知识回顾 1.古典概型的概念
1)试验的所有可能结果(即基本事件)只 有有限个,每次试验只出现其中的一个结 果;2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P( A) 试验的所有可能结果 n
问题1:
100个产品中有93个产品的长度合格,90 个产品的质量合格,85个产品的长度、 质量都合格。现在任取一个产品,若已