n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
P74
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
n ,
1 x 1
n1
n
例2 判断下列函数在[0,1]的可积性
f( x)
0 , x 0,
sgn(sin
x
1 n
),
, 0
x
1
,
x
f( x) 1
n
1 sin 0,
,x x x
0 0,
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上次课内容
b a
f
( x)dx
F(x)
|ba
1 n i
1
lim f ( ) f ( x)dx
n n i1 n
0
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§3 可积条件
一、必要条件 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a ,b] 上可积，则 f 在[a ,b] 上必有界.
反之，不成立
狄若利克 雷 0函，数D(x0) ,在对任任何意区分间割[a, b] 上不可积.
本次课内容 一、可积的必要条件 可积 必有界.
二、可积的充要条件 0, 分割 T ,使
n
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、可积的充分条件 连续
有界且只有有限个间断点 [a, b] 上单凋
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例3 证明黎曼函数
R( x)
定理1（连续必可积）
x, xi
P21习题16
例若 f求在证[狄a,利b]克上雷连函续数，D则( x) f在在任何[a区, b间] 上[a,可b]积上.不可积.
定理2 f 在 [a, b]上有界，只有有限个间断点，
则 f 在 [a, b] 上 可积. 定理3 f 在 [a, b]上单凋，则 f 在 [a, b] 上 可积.