xn n2
D [1,1]
(2)
n1
(1)n x2 n
DR
xn
(3) n1 n
D [1,0]
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§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一、函数列一致收敛的性质
1.连续性 定理1 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { fn } 在
(a, x0 ) U ( x0,b) 上一致收敛于 f ( x), 且对每个 n,
例2 求n1证 n
xn 4 4 n! 在(r, r)(r 0)上一致收敛.
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B. Abel法 定理2(阿贝耳判别法)设
P24引理、柯西准则
(i) un( x) 在区间 I 上一致收敛;
(ii) 对于每一个 x I,{vn( x)} 是单调的; (iii){vn( x)} 在 I 上一致有界, 即对一切 x I 和正整 数 n, 存在正数M, 使得 | vn( x) | M ,
un( x)
xlimx0un( x)
an .
2. 若 un( x) 区间 [a, b]上一致收敛, 且每一项都连
续, 则其和函数在 [a, b]上也连续.
2.可积性
定理2 (逐项求积定理) 若函数项级数 un( x)
在[a, b] 上一致收敛, 且每一项 un( x)都连续, 则
b
b
1

fn
O 11 2n n
1x
3.可微性
定理3 (可微性)设 { fn }为定义在[a, b]上的函数列,
若 x0 [a, b]为{ fn }的收敛点, { fn }的每一项在 [a, b]
上有连续的导数, 且 { fn}在 [a, b]上一致收敛, 则
d
dx
lim
n
fn ( x)
lim d n dx
lim
x x0
fn ( x)
an
,
则
lim
n
an和xlimx0
f
( x)均存在且相等. 即
lim
x x0
lim
n
fn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
fn( x).
(1)
定理2 (连续性) 若函数列 { fn } 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续.
例推论求证(连{续xn性} 在) 若(函1,1数]上列不{ f一n }在致区收间敛 I上内闭一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续.
.
例1设
un (
x)
1 n3
ln(1
n2 x2
).
n 1,2,L
证明函数项级数 un( x) 在 [0, 1]上一致收敛, 并讨
论和函数在 [0, 1]上的连续性、可积性与可微性.
例2
确定函数项级数
n1
x
1 n
n
的收敛域并讨论
和函数的连续性.
fn( x).
注；此条件充分非必要
fn ( x)
1 2n
ln(1
n2 x2 ),
n 1,2,L
二、函数项级数
1.连续性
定理1 (极限交换定理、连续性定理)
1. 若函数项级数 un( x)在 U o( x0 )一致收敛, 且对
每个 n ,
lim
x x0
un (
x)
an
,
则有
lim
x x0
（2）.充分条件
（1） 柯西准则
A.优级数法
(2)
lim
n
sup
xD
|
s
n
(
x)
s(
x
)
|
0.
定理1 设 un( x) : 对一切 x D, 有| un( x) | Mn , 且 Mn 收敛，则 un( x) 在 D 上一致收敛.
sin nx
例 1 求证
n2 在(, )上一致收敛.
cos nx 在 ( , 7 )上 一致收敛？
则级数 un(x)vn(x) 在 I 上一致收敛.
例 求证
(1)n( x n)n
n1
nn1
在[0, 1]上一致收敛.
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C. Dirichlet法
定理3 (狄利克雷判别法) 设
n
(i) un( x) 的部分和数列 Un( x) uk ( x) k 1 在 I 上一致有界;
(ii) 对于每一个 x I,{vn( x)} 是单调的; (iii)在 I 上 vn( x)0(n ),
则级数(14)在I上一致收敛.
例 求证 cos nx 在 ( , 7 )上 一致收敛。
n1 n
44
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函数项级数一致收敛性判别法
(1).优级数法 un( x) : | un( x) | Mn ,
推论 (连续性) 若函数列{ fn }在区间 I上内闭一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续.
2.可积性
定理2 (可积性) 若函数列{ fn } 在[a, b]上一致收
b
b
敛,
且每一项都连续,
则 lim n
a
fn( x) dx
a
lim
n
fn( x)
dx.
y
注；此条件充分非必要
a un( x) dx a un( x) dx.
3.可微性
定理3 (逐项求导定理) 若函数项级数 un( x)
在 [a, b] 上每一项都有连续的导函数, x0 [a, b]为
un( x) 的收敛点, 且 un ( x) 在 [a,b]上一致收敛, 则
d dx
un( x)
d dx
un( x)
Mn
(2). Abel法 un(x)vn(x) : un( x) {vn( x)}
(2). Dirichlet法
n
Un( x) uk ( x) {vn( x)} k 1
(3).定义法 sn( x) s( x)(n , x D)
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例 求证下列级数在. D上一致收敛
(1)
n1