微分的形式不变性 z f ( x, y)
dz z dx z dy. x y
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在点 ( x1,L , xn ) 具有对于 xi (i 1, 2,L , n) 的偏导数, 则复合函数
f ( g1( x1,L , xn ), g2( x1,L , xn ),L , gm ( x1,L , xn )) 关于自变量 xi (i 1,2,L ,n) 的偏导数为
f m f uk (i 1,2,L , n).
上次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 可微充分条件 f x 与 f y ,在 ( x0 , y0 ) 连续
定理 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微.此时，切平面方程为
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例4 设 u u( x, y) 可微, 在极坐标变换 x r cos ,
y r sin 之下, 证明:
u r
2
1 r2
u
2
u x
2
u y
2
.
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抽象函数偏导表示
z f (x, y) u f (x, y, z)
f1
f x
f
2
f y
f
3
f z
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一、复合函数的求导法则
定理17.5 若 x (s,t), y (s,t) 在点 (s,t) D 可 微，z f ( x, y) 在点 ( x, y) ((s,t), (s,t)) 可微, 则 复合函数 z f ( (s,t), (s,t) ) 在点 (s,t) 可微，且
关于 s 与 t 的偏导数分别为
Q
z= f (x ,y) ( )
z
M
dz
N
0
P0(x0,y0)
y
y
x
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3. 近似计算和误差估计. z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 ) f x ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y.
例1 求 1. 08 3. 96 的近似值. 例2 应用公式 S 1 ab sinC 计算某三角形的面积,
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
例
求证曲面 z
xf ( y ) x
的切平面相交于一点
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2.二元函数全微分的几何意义: dz fx ( x0 , y0 ) x f y ( x0,zy0 ) y,
P
z z0
z z x z y , 链
s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)
式
法
z z x z y . 则
t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t)
．
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注 如果只是求复合函数 f ( (s,t), (s,t) ) 关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 x (s,t), y (s,t) 只
例1
设z
f (2x
y, xy),
求
z x
例2
设z
f (2x y ( xy)), 求
z x
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二、复合函数的全微分
一阶微分的形式不变性 z f ( x, y) dz z dx z dy. x y
例 1 设 z e x y sin( x y), 求 dz.
例2
设
z
f
(
x, y
y), x
求 dz, z . x
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例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a, f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1).
例6 设在 R2上的可微函数 f 满足方程 y fx(x, y) x fy(x, y) .
须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 但是函数 f 的可微性假设不能省略.
f
(
x,
y)
x2 y x2 y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.源自x t, y tt0
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若 f (u1,L , um ) 在点 (u1,L , um ) 可微,函数组 uk gk ( x1,L , xn ) (k 1, 2,L , m)
x i k1 uk x i
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例 1 设 z ln(u2 v), 而 u ex y 2 , v x2 y, 试
求 z 与 z .
x y
u
x
z
v
y
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
例3 求导数 y xsin x
2 现测得 a 12.50, b 8.30, C 30o. 若测量 a, b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1o, 试求用此公式 计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
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§2 复合函数微分法
z f (x, y)
x (s,t) 与 y (s,t) z F (s,t) f ( (s,t), (s,t) ) .
证明: 在极坐标系里 f 只是 r 的函数．
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本次课内容
复合函数的求导法则 z z x z y , s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)
z
z
x
z
y
.
t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t)