( x, y) | x x0 | , | y y0 | .
U o( A; )
( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
( x, y) | x x0 | , | y y0 | ,( x, y) ( x0, y0 )
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2. 点和点集之间的关系
第十六章 多元函数的 极限与连续
y f (x)
定义域 对应法则
V r2h
z f (x, y)
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§1 平面点集与多元函数
一、平面点集
1.定义： 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合,
称为平面点集。 A( x0, y0 )
U( A; ) :
( x, y) ( x x0)2 ( y y0)2 2
推论 任一有界无限点列 { Pn} R2 必存在收敛子 列 { Pnk } . ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. )
定理3 (有限覆盖定理) 设 D R2 为一有界闭域 ,
U { } 为一族开域 , 它覆盖了 D ( 即 D ). 则
在 { } 中必存在有限个开域 1, 2 , L , n , 它们 同样覆盖了D。
2.几何意义 z f (x, y)
通常表空间曲面
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上次课内容 1. 点
内点，外点，界点，聚点，孤立点 2. 集 开集，闭集，连通集；开域，闭域，区域，有界点集
3. 完备性定理 4. 二元函数
z f ( x, y), ( x, y) D;
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z 10 2x 5 y
二、R2上的完备性定理
1.平面点列的极限
（1）定义 设 {Pn } R2 为一列点, P0 R2 为一固定点.
若 0, N N , 使当 n N 时, Pn U(P0; ),
则称点列 { Pn } 收敛于点 P0 , 记作
lim
n
Pn
P0
或
Pn P0 ( n ).
（2）性质
设Pn( xn , yn ) ，P0 ( x0 , y0 ), 则
(ii) dn d(Dn ),
lim
n
dn
0.
则存在惟一的点 P0 Dn , n 1, 2, L .
推论 对上述闭域套 { Dn }, 0, N N , 当 n N 时, Dn U (P0; ).
注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.
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定理2(聚点定理) 若 E R2 为有界无限点集, 则 E 在 R2 中至少有一个聚点.
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区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域. 有界点集——对于平面点集 E, 若 r 0, 使得 E U (O; r), 则称 E为有界点集.
例 判断下列点集哪些是开集、闭集、有界集、区 域？并指出其聚点与界点
(1) G ( x, y) | xy 0
z 1 (x2 y2)
x z
z xy
O
z 1
O y
y x
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z
x2
y2
z z2
z 1 O
y x
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3.有界函数 若二元函数的值域 f (D)是有界数集, 则称函数
f 在 D上为一有界函数 . 否则, 称函数 f 在 D上
为一无界函数
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四、n 元函数
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三、二元函数
1.定义 设平面点集D R2 , 若按照某对应法则 f , D 中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之 对应, 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 ( 或称 f 为 D 到 R 的一个映射 ), 记作 f : D R .
也记作 z f ( x, y), ( x, y) D; 或点函数形式 z f (P), P D.
E 的孤立点.
注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
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3. 一些重要的平面点集 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集. 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ,则称 E 为闭集. 连通集——若 E 的任意两点之间都可用一条完全含 于 E 的有限折线相连接。 开域——连通的非空开集 E 。 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
n维向量
( x1, x2 ,L , xn )
n维向量空间
Rn
设 E 为 Rn 中的点集, 若有某个对应法则 f , 使 E
中每一点 P( x1, x2 ,L , xn ) 都有惟一的一个实数 y 与之对应, 则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作
也常写成
f : E R,
y f ( x1, x2 ,L , xn ), ( x1, x2 ,L , xn ) E ,
性质 (P1, P2 ) (P1, P3 ) ( P2 , P3 ) .
点集 E 的直径 d(E ) sup (P1, P2 ),
P1 , P2 E
[1,2] (1,3]
{( x, y) | 0 x 1,0 y x}
性质 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集.
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或 y f (P), P E.
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例 求 f ( x, y) sin( x2 y2 ) 的定义域， 并画出定义域的图形
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不属于E的点，则称点 A 是 E 的界点。 E.
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(iv) 聚点——若在点 A 的任何空心邻域U o( A) 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点．
(v) 孤立点—— 若点 A E, 但不是 E 的聚点（即
有某δ > 0, 使得 U o( A; ) I E ), 则称点 A 是
lim
n
PnLeabharlann P0limn
xn
x0
且
lim
n
yn
y0;
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（3）柯西准则 定理1 {Pn } R2 收敛的充要条件是:
0, N N , 使当 n N 时, 都有 (Pn , Pn p ) , p N .
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2.完备性定理 定理1(闭域套定理) 设 { Dn } 是 R2 中的一列闭 域, 它满足： (i) Dn Dn 1, n 1, 2, L ;
(2) G ( x, y) | x2 y2 1或y 0,1 x 2
(3) G ( x, y) | x 2, y 2, x y 2
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4. 直径
P1( x1, y1) P2( x2 , y2 )
(P1, P2 ) ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
(i) 内点——若 0, 使 U ( A; ) E, 则称点 A
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 E 的内部, 记作 int E.
(ii) 外点——若 0, 使 U ( A; ) E , 则称
点 A 是 E 的外点；
(iii) 界点—— 若 0, U( A; ) 既有E的点又有