第1讲 等差数列、等比数列[全国卷3年考情分析]函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和的最大、最小值等问题，属中低档题．考点一 等差、等比数列的基本运算[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n(2)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3.①若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝13，求S n .1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．22．(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )A ．2B ．32C ．3D ．43．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．考点二 等差、等比数列的性质[例2] (1)(2019·贵阳模拟)等差数列{a n }中，a 2与a 4是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12 (2)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－2 C.2D ．－2或2(3)在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．1．(2019·蓉城名校第一次联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝20，a 4＝6，则a 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2019·江西八所重点中学联考)已知数列{a n }是等比数列，若ma 6·a 7＝a 28－2a 4·a 9，且公比q ∈(35，2)，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(2，5)C ．(3，6)D ．(3，5)3．已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数 4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12－λn ＋1（n <6），λn －5（n ≥6），若对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，则实数λ的取值范围是________．考点三 等差(比)数列的判断与证明[例3] (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．1．(2019·广州市调研测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝7，a n ＝2a n －1＋a 2－2(n ≥2)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式，并判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．【课后通关练习】A 组一、选择题1．(2019·成都摸底考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝52，S 10＝15，则a 7＝( )A.12 B ．1 C.32D ．22．(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝A.12 B ．54C.45D ．－453．等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．634．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．(2019·江西临川期末)已知正项等比数列{a n }满足a 5·a 6·a 7＝1，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx ，0<x <1，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 10)＝a 1，则a 1的值为( )A.e B ．e C ．2eD ．1＋e6．(2019·石家庄市模拟(一))已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＋S n ＝n 2－19n2(n ∈N *)，若a 10<a 11，则S n 取最小值时n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题7．(2019·长春市质量监测(二))等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为________．8．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝_______．三、解答题10．(2019·北京高考)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)设b n＝a n＋3，证明：数列{b n}为等比数列，并求通项公式a n.12．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n}前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若{a n}为递增数列，求数列{|a n|}的前n项和S n.B组1．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n}满足a n＋1－3a n＝3n(n∈N*)且a1＝1.(1)设b n＝a n3n－1，证明：数列{b n}为等差数列；(2)设c n＝na n，求数列{c n}的前n项和S n.2．(2019·昆明检测)已知数列{a n}是等比数列，公比q<1，前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7.(1)求{a n}的通项公式；(2)设m∈Z，若S n<m恒成立，求m的最小值．3．(2019·广州市综合检测(一))已知{a n}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n＋b n}的前n项和．4．数列{a n}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13，数列{b n}的前n项和是T n，且T n＋b n＝3.(1)求数列{a n}及数列{b n}的通项公式；(2)设c n＝a n·b n，求数列{c n}中的最大项．第2讲数列通项与求和[全国卷3年考情分析]角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．考点一a n与S n关系的应用[例1](1)(2019·成都第一次诊断性检测)设S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，a n＋1＝S n，n∈N*，则a5＝________．(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3S n－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．1．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－2a n＝2n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝________．2．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋1＝3a n－2a n－1(n≥2，n∈N*)．设b n＝a n＋1－a n.(1)证明：数列{b n}是等比数列；(2)设c n＝b n（4n2－1）2n，求数列{c n}的前n项和S n.考点二数列求和题型一裂项相消求和[例2](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝2a n（a n＋1）（a n＋1＋1），求数列{b n}的前n项和T n.题型二 错位相减求和[例3] (2019·福建五校第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .题型三 分组转化求和[例4] 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .1．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n .记P n ＝b 1×b 2×…×b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________．2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .3. 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【课后专项练习】A 组一、选择题1．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝12，且a 2＝2，则a 4等于( )A ．－12B ．23C ．12D ．112．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2 019＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－33．(2019·广东省六校第一次联考)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{b n }的前50项和为( ) A ．49 B ．50 C ．99 D ．1004．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，且a 4＋a 5＝－20，则a n ＋1S n －1的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．若数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 019＋1a 2 020＝( )A.4 0392 019 B ．2 0182 019 C.4 0402 021D ．4 0392 0206．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)二、填空题7．(2019·安徽合肥一模改编)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为________．8．设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2 020项的和为________．9．(2019·蓉城名校第一次联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋⎪⎪⎪⎪cos n π2S n ＝2，则a 12＝________． 三、解答题10．(2019·江西七校第一次联考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列{a 2n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．11．(2019·唐山模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －12.(1)求a n ；(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .12．(2019·河北省九校第二次联考)已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n，求数列{c n }的前n 项和S n .B 组1．(2019·江西八所重点中学联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)设b n ＝a 2n a 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .2．(2019·福建省质量检查)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n .(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并求a n ；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列{a n b n }的前n 项和．3．(2019·郑州市第二次质量预测)数列{a n }满足：a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 2＋n ，n ∈N *. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n >920的最小正整数n .4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝16.数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且{b n －a n }是等差数列．(1)分别求{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1（b n ＋1－a n ＋1）log 2a 2n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.5.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．(2019·郑州市第二次质量预测)已知数列{a n}中，a1＝1，a n>0，前n项和为S n，若a n＝S n＋S n－1(n∈N*，且n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记c n＝a n·2a n，求数列{c n}的前n项和T n.。