精品文档线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。
有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。
本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6D ．15答案：C 。
2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120精品文档C.120D.180 【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。
行列式可以根据任意一行（列）展开。
一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。
本题，按第三列展开，有：441424344433313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 00022 3 2 333(002)6(1) =630180.210A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。
近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。
需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,1）11.若,0211=k 则k=_______.答案：1/2。
3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4D.8【答案】C【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。
由于11,AA-=由已知| A -1 |=2，从而12A =，所以3122842A A ==⨯=。
精品文档【提醒】牢记公式：11,AA-=n kA k A =，AB A B =，以及由*AA A E =推出的1*n A A-=。
其中n 为A 的阶数。
【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,4）4．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n AB ．-5AC ．5AD ．5n A答案：A 。
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 【答案】B【解析】本题考查了向量组线性相关性。
由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。
本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。
【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。
如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,7）5.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关答案：B 。
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。
本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。
由结论可知，A的秩为4。
【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。
【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。
热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：D。
6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )A.A与B相似B.| A |=| B |C.A与B等价D.A与B合同【答案】C【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。
因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。
【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。
（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。
（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。
若A与B合同，则它们也是等价的。
【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。
热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,7）7.若A与B相似，则（）A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|答案：D。
精品文档精品文档7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0B.2C.3D.24 【答案】D 。
【解析】本题考查了特征值的性质。
已知A 为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：,(),()()A A A λϕλλϕλϕ若是矩阵的特征值是关于的多项式则是的特征值（含负指数），可得，A+2E 的特征值为2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。
再根据性质：若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλL ，则12n A λλλ=L ，可得，| A +2E |=4╳3╳2=24。
【提醒】110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为；若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλL ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++L L 。
【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。
热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,7）18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E |=___________. 答案：24。
（2010,1）9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 =（ ）A.4B.5C.6D.7答案：B8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同C.| A |=| B |D.A 与B 有相同特征值【答案】B【解析】本题考查了相似矩阵的性质。
首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定义，A 与B 相似则存在可逆矩阵P ，使得P -1AP=B 。
因为可逆矩阵P -1和P 都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应精品文档列变换，由P -1AP=B 可知，A 通过若干初等变换可以互相转化为B ，从而A 与B 是等价的。
用排除法可知本题选B 。
【提醒】（1）若存在可逆矩阵P ，使得P ，AP=B ，则称A 与B 合同。
若A 与B 合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。
（2）若存在正交矩阵P ，使得P -1AP=B ，则可以得到A,B 合同。
【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。
热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】 （2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）A ．121B ．71C ．7D ．12答案：A 。
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2D.4【答案】D 。
【解析】本题考查了向量的正交性。
如果0Tαβ=，则向量,αβ正交。
向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，由0Tαβ=得，12(2)310t ⨯+-⨯+⨯=，解得4t =。
【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。
记得什么是正交矩阵吗？ 【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。
热度：☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,7）9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定 【答案】B 。
精品文档【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。
n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的 n 个特征值全是正数。
n 阶对称矩阵A 是负定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全小于零。
n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
【提醒】n 阶对称矩阵A 正定的另一个充分必要条件是：A 的 n 个顺序主子式全大于零。
【点评】正定性的判定是考察的重点。
本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。
热度：☆☆☆☆。
【历年考题链接】 （2007,10）20．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足_____________.答案：0a <<二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。