(Ⅱ) bn＝n, cn = 1 = 1 (1 − 1 ) …………………………… 6 分 n(n + 2) 2 n n + 2
裂项相消可得Tn = 1 (1+ 1 − 1 − 1 ) = 3 − 1 ( 1 + 1 ) ……… 8 分 2 2 n +1 n + 2 4 2 n +1 n + 2
∵T1 Tn 3 ,即 1 Tn 3
∴ sin A = 1 …………………………………………… 5 分 2
（2）∵△ABC 外接圆的面积为16 ，设该圆半径为 R
∴R=4 …………………………………………… 6 分
∴由正弦定理得： a = 2R = 8 ，…………………………………………… 9 分 sin A
由(1)得 a = 4 …………………………………………… 10 分
8
43
4
…………………………………………… 10 分
7
∴欲
k 24
Tn
k
+13 24
对
n∈N*都成立，须
3
1 3 k
k 24 + 13
，得
5
k
，
4 24
又 k 正整数，∴k=5、6、7
…………………………………………… 12 分
22 解： 若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. ……………………… 2 分 若 a<0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)>0， 解得 x<1a或 x>1. …………………………………………… 4 分 若 a>0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0. …………………………………………… 5 分 ①当 a＝1 时，1a＝1，(x－1a)(x－1)<0 无解；………………………………………… 7 分 ②当 a>1 时，1a<1，解(x－1a)(x－1)<0，得1a<x<1；…………………………………… 9 分 ③当 0<a<1 时，1a>1，解(x－1a)(x－1)<0，得 1<x<1a. ………………………………… 11 分 综上所述，当 a<0 时，解集为{x|x<1a或 x>1}； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为{x|1<x<1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 a>1 时，解集为{x|1a<x<1}．…………………………………………… 12 分
18. （本小题满分 12 分）
5
解（1）证明：∵ a2 = 3 ， a2 = 2a1 +1 ，∴ a1 = 1，…………………………………… 1 分
由题意得
an
+1
0
，
an+1 +1 an +1
=
2an + 2 an +1
=
2 ，……………………………………
4分
∴an +1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列. …………………………………… 5 分
解：（1）由余弦定理得 a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A, ……………………………………… 1 分
又 b2 + c2 = a2 + 3bc,
∴ 2 cos A = 3 …………………………………………… 3 分
∴ cos A = 3 ，又 A 为三角形 ABC 的内角…………………………………………… 4 分 2
答：救援船到达 D 点需要 1 小时．…………………………………………… 12 分
21．（本小题满分 12 分）
解、(Ⅰ) an＝ 1 Sn＋1 ① 2
an-1＝ 1 Sn-1＋1（n≥2） ②…………………………………………… 1 分 2
①-②得：an＝2an-1（n≥2），又易得 a1＝2 ∴an＝2n …………………… 4 分
DBA = 90 − 60 = 30,DAB = 45, …………………………………… 1 分
ADB = 105 …………………………………………… 2 分
在 DAB 中，由正弦定理得 DB = AB
…………………………3 分
sin DAB sin ADB
DB = AB • sin DAB = 5(3 + 3) • sin 45 =
x−2
x−2
∴x＜2，求 4 x + 1 的最大值为 4 …………………………………………… 7 分 x−2
（2）解： ∵ x + 4y + xy = 5 ，
∴ 5 − xy = x + 4y 2 4xy = 4 xy ……………………………………………
8分
当且仅当 x＝4y， x + 4y + xy = 5
5(3 + 3) • sin 45
sin ADB
sin105
sin 45 • cos 60 + sin 60 • cos 45
= 5 3(1+ 3) = 10 3 （海里），…………………………………………… 7 分 (1+ 3) 2
又 DBC = DBA+ ABC = 30 + (90 − 60) = 60, BC = 20 3 海里，………8 分
1
2
3
4
2020－2021 学年度第一学期期中高中二年级质量测试
数学科试题参考答案
一、填空题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A
DB
A
C
D
A
B
二、多选题
9
10 11 12
ABC BC ACD ABD
三、填空题
（13）
x
−
2
x

−
1 2
．
四、解答题:
17（本小题满分 10 分）
（14）0.（15）6 .（16） 2n − 1 , 2n+1 (n − 1) + 2 4
在 DBC 中，由余弦定理得
CD2 = BD2 + BC2 − 2BD • BC • cos DBC = 300 +1200 − 210 3 20 3 1 = 900 2
…………………………………………… 10 分
CD = 30（海里），则需要的时间 t = 30 = 1 （小时）．………………… 11 分 30
∴ n + Sn = 2an ，即 n ， an ， Sn 成等差数列.………………………………… 12 分
19. （本小题满分 12 分）
解：(1)已知 x＜2，∴x-2＜0. …………………………………………… 1 分
∴4 x + 1 = 4(x − 2) + 1 + 8 …………………………………………… 2 分
即
y
=
1 2
时，等号成立。……………………………………………
9分
x = 2
∴ xy + 4 xy − 5 0 …………………………………………… 11 分
∴ xy 1
6
∴xy 的最大值为 1 …………………………………………… 12 分
( ) 20 解：由题意知 AB = 5 3 + 3 海里，
x−2
x−2
−4(x − 2) − 1 4 ，…………………………………………… 3 分 x−2
当且仅当 − 4(x − 2) = − 1 ，即 x＝ 3 时等号成立．………………… 4 分
x−2
2
4(x − 2) + 1 −4 …………………………………………… 5 分 x−2
∴4 x + 1 = 4(x − 2) + 1 + 8 4 …………………………………… 6 分
（2）由（1） an +1 = 2n ，…………………………………………… 6 分
∴ an = 2n −1. ……………………………………… 7 分
∴
Sn
=
2 − 2n+1 1− 2
−
n
=
2n+1
−n−
2
，……………………………………………
9分
( ) ∴ n + Sn − 2an = n + 2n+1 − n − 2 − 2 2n −1 = 0 ，……………………………… 11 分