课题：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教案)
编者：隋宝娥
教学目标：1.掌握判别式与韦达定理；2能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用只是的能力
教学重点：判别式、韦达定理
教学难点：韦达定理的应用
教学方法：讲练结合
教学手段：实物投影教学过程：(一)复习引入：初中学过一元二次方程根的判别式。
一元二次方程ax2+bx+c=o何时有两个不同的实根？有两个相同的实根？没有实根？当方程有实根时，我们如何求出实根？提问学生求根公式，强调方程的根用系数表示，我们有必要进一步研究根与系数的关系。
引出新课
(二)新课讲授：由求根公式我们知道方程的两根x i=^ 八；%2=二2 ,教
2a 2a
师引导学生探究x i+x2=- b x i x2=— (a = 0)强调这就是我们今天要研究的韦
a a
达定理，让学生背过。
例1、不解方程，判定解的个数。
2 2 2
(1)5(x +1)-3x=0 (2)2x -(4k+1)x+2k -1=0
目的：练习巩固判别式。
学生完成，教师展示实物投影。
例2、已知方程5x2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k的值
解法:直接用韦达定理。
求出另一根-0.6 k= -7
例3、若方程x2+x-1=0的两根为X1,X2,用韦达定理计算(1)X21+X22；(2)丄+—;
x1 x2
3 3
(3)|x1-x2|;(4)x 1 +x2 ;(5)(X1-1)(X2-1)
解：由韦达定理得：X1+X2=-1，X1X2= -1
(1) 2 2 2
X 1+X2 =(X1+X2) -2X1X2=3
(2) 1 1 + -X1x2
=1
X1 X2X1X2
(3)
|X1-X2|2
=
=(X1-
X2)2=
：(X1+X2)2-4X1X2=5 |X1-X2|=
■- 5
(4) X i3+X23 = (X l+X2)(X l2+X22-X l X2)= (X l+X2)(论X2 )2 - 3x2论l=-4
(5) (X1-1)(X2-1)=X 1X2-(X l+X2)+1=1
目的：使学生熟练掌握韦达定理的应用。
课堂练习：1.关于x的方程ax2—2X + 1 = 0中，如果a<0，那么根的情况是()
(A)有两个相等的实数根(B )有两个不相等的实数根
(C)没有实数根(D)不能确定
2 .设X1, X2是方程2x2—6x + 3= 0的两根，则X12+ X22的值是()
(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 3
3 .下列方程中，有两个相等的实数根的是()
(A) 2y2+5=6y (B) x2+5=2、5 x ( C) •. 3 x2—、2 x+2=0 ( D) 3x2—2.6
x+仁0
4 .以方程x2+ 2x —3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( )
2 2 2 2
(A) y +5y —6=0 (B) y +5y + 6=0 (C) y —5y + 6=0 (D) y —5y —
6=0
5. 如果X1 , X2是两个不相等实数，且满足X12—2X1 = 1 , X22—2X2 = 1，那么
X1?X2等于()(A) 2 (B)—2 (C) 1 (D)—1
6. 如果一元二次方程x2+ 4x + k2= 0有两个相等的实数根，那么k =
7 .如果关于x的方程2x2—(4k+1)x + 2 k2—1 = 0有两个不相等的实数根，那
么k的取值范围是
8 .已知X1 ,X2是方程2x2—7x + 4 = 0 的两根则X1+ X2 = ；X1?X2=； ( X1 —X2 ) 2 =
课堂小结：1•掌握一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分
析解决一些简单的综合性问题。
课后巩固：
1、已知3 —2是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。
2、求证：方
程(m2+1)x2—2mx+(m2+4)=0没有实数根。
3、取什么实数时，二次三项式2x2
-(4k+1)x+2k2—1可因式分解.
4、x i, X2是方程2x2-6x + 3= 0的两根，计算(1) X2X2+X!X；;(2)((x X2)2
1 1 1 1
⑶(X )(x2 ):⑷ r 2
x1X2X-I x2
课题：一元二次方程根的根与系数的关系（韦达定理）（学案）
复习：一元二次方程ax2+bx+c=o何时有两个不同的实根？有两个相同的实根？没有实根？当方程有实根时，我们如何求出实根？X1+X2=? X1X2=?例1、不解方程，判定解的个数。
(1) 5(X2+1)-3X=0(2)2x2-(4k+1)x+2k 2-1=0
2
例2、已知方程5X +kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k的值
例3、若方程X2+X-1=0的两根为X I,X2,用韦达定理计算(1)X2I +X22;(2)丄+丄;
X! X2
3 3
(3)|X I-X2|；(4)X I3+X23；(5) (x i-1)(X2-1)
课堂练习：1.关于x的方程ax2—2X + 1 = 0中，如果a<0，那么根的情况是()
(A)有两个相等的实数根(B )有两个不相等的实数根
(C)没有实数根(D)不能确定
2 .设X1，X2是方程2X2—6X + 3= 0的两根，则X12+ X22的值是()
(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 3
3 .下列方程中，有两个相等的实数根的是()
(A) 2y2+5=6y( B )x2+5=2 5x( C) 3 X2—2X+2=0(D)3X2—2 6 X+仁0
4 .以方程x2+ 2X—3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( )
(A) y2+5y —6=0 (B) y2+5y + 6=0 (C) y2—5y + 6=0 (D) y2—5y —
6=0
5. 如果X1，X2是两个不相等实数，且满足X12—2X1 = 1，X22—2X2 = 1，那么
X1?X2等于()(A) 2 (B)—2 (C) 1 (D)—1
6. 如果一元二次方程X2+ 4X + k2= 0有两个相等的实数根，那么k =
7 .如果关于X的方程2X2—(4k+1)x + 2 k2—1 = 0有两个不相等的实数根，那
么k的取值范围是
8.已知X1,X2 是方程2x2—7x + 4 = 0 的两根则x i+ X2 =；X i?X2=； ( X i —X2 ) 2 = 课后巩固：
1、已知3 —2是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。
2、求证：方
程(m2+1)x2—2mx+(m2+4)=0没有实数根。
3、取什么实数时，二次三项式2x2 —(4k+1)x+2k2—1可因式分解.
4、x i, X2是方程2X2—6x + 3= 0的两根，计算(1) x i x z+X i X；;(2)((X i X2)2
1 1 1 1
(3) (x —)(X2 —)；(4) -2 "2
x1x2x1x2。