z0是 f(z)的一阶 zi极 是 f(z)的 点二 ，阶
Re f(zs )0 [,]lifm (z)z z 0
lim
z0
eiz (z2 1)2
1
Rfe(z)si],[1lid m {f(z)(z i)2}
1 !z idz
d
eiz
lim { zi dz z(z
i)2}
3 4e
类似地，Rfe (z)s ,i] [1lim d{f(z)(z i)2 }
特别： z0 是f (z)的可去奇点 (罗朗时 展开式中不含负幂 项）
2020/6/30 Refs(z)[,z0]0
2. 极点处留数的计算
如果 z0是f(z)的m阶极点 则，
Rfe (z)s z0 ,][ (m 1 1 )lz !iz0d m d m m 1 1 z [f(z)z( z0 )m ] 规则I
ccm(zz0)md z 0 2i c 1
m1
（例3.6的结论）
m1
ccn(zz0)nd z0n0（柯西定理）
cf(z)d z2i c1
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定义5.3 设 f(z)在 0zz0R内解z0 析 为 f(z， )的孤立奇
1
2i
c f (z) dz 为f(z)在孤立奇 z0的 点留数记 ，R 作ef(sz)[z,0]
其中 C:z， z0rR
c 1 Rf( e z )z 0 s ,][
f (z)在z0去心邻域上罗朗级数负中幂项c1(zz0)1的系数。
例 1：计R 算ezs(z[1 1)2,1]
解： 在z1的去心0邻 z域 1内罗朗级数
1
z(z1)2
1 (z1)2
1 z
(z 1 1 )21 (1 z 1 )(z 1 1 )2n 0( 1 )n(z 1 )n
3
例2： 计算 f(z)zez在z0处留数；
3
解：zez在z 0的去心邻域内罗朗 为级 ：数
z3 z ez1(3)nz33233
n0n !z
2 !z 3 !z2
3
Re sz[ez ,0]
32
2!
留数计算有何简便方法？
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三、留数的计算方法
1.定义: f (z)在z0去心邻域上的罗朗 式展 ，开 c1(zz0)1项的系c数 1
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例5 求下列函数在孤立奇处点的留数
1) f (z) 1 cosz
解
zk
k,k0,1,为孤立
2
R zkf e ( zk )zs zkk , ] [ 2kz l ,kz ik fm ( 0 2z ,) 是 1 z,( c z ok 为 )zs的 f(zlz i)的 z一 m k zco阶 z一 zks零 zl i阶 ,zm k (点 c1极 oz)s' 点
1 1 1(z1) (z1)2 (z1)
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
esz([z11)2
,1]1
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(错误解法 )
1 z(z1)2
在z1
1内的罗朗级数
z(z1 1)2(z 11)21(1 z1)(z 11)3111
z1
(z 11)5(z 11)4(z 11)3
z 1 1
Resz[(z11)2 ,1]0
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1 !z idz
1 4e
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
是P(z)的0阶零点z0是f (z)的一阶极点。 R规fe 则(z) IIs Iz0 ,][ z l iz0fm (z )QPz( ( (zz00z ))0 )zl izm 0Q P((zz))(zz0)zl izm 0 Q(zz)P (zQ z)0(z0)
设 z0为 f(z)Q P ((z z))的一阶R 极 e Q P ((s z z点 ))[,z0] ， Q P '((zz0 0 则 ))
1 1
sinz|zzk
1
k为奇数 （洛比塔法则）
k为偶数
或
1
1 k为奇数
Ref(sz)[z,k](cz o)|z 'szk
1
k为偶数
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eiz 2) f (z) z(z2 1)2
解 z 0,z i为孤立奇点
z0为z(z2 1)的一阶零z点i为z(z21)2的二阶零 eiz在z 0,i处不为零。
2020/6/30 c1(m 1 1)z l! iz0m d dm m z 1 1[f(z)z(z0)m ]
特别1： )若z0 是f(z)的一阶极点时，则 2)若 f规(z则) II Q P((zz)),P(R z)及 Q fe ( (z z) )在 s z0 ,z]0 [ 都 lz iz0解 m f(z)z 析 (P (z z0 0))， 0,且 Q 证(明z0)：z0 0是 ,Q Q(z(0 z))的0 一,则 阶z零0为点f ， (z)的一阶极R 点e，sf([而 z),z0]QP((zz00))
例题 3.6
预备知识
dz 2πi
c(zz0)n1 0
n n 0 0,C:围绕 z0的任意闭
柯西定理: f(z)在以简单C 闭 为曲 边线 界的有D 界 上闭 解区
则Cf(z)dz0
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f( z ) c m ( z z 0 ) m c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n
注作 ：为计算留在 数计 的算 方罗 法朗 ， 只 展需 开求 式c出 时 1. 系 ， 其余系数可， 以所 不以 必只 理(要 z会 z0把 )1的 包项 含找出来
例f： (z)z3(si1n)5 z 0为孤立奇点 z
z 0的去心邻域上的罗朗数级为
f(z) z3(s1 z)i5 nz3(1 z 3 1 !z 1 3 )5 z1项不存在 Ref(sz)[0 ,]0
证 f( z ) c m ( z z 0 ) m c m 1 ( z z 0 ) m 1
c 1 (z z 0 ) 1 c 0 c 1 (z z 0 )
f(z )z( z 0 )m c m c m 1 (z z 0 )
c 1 ( z z 0 ) m 1 c 0 ( z z 0 ) m c 1 ( z z 0 ) m 1 于是 ddm m z11[f(z)z(z0)m] c 1 (m 1 ) c !0 (z z 0 )m 2