§2 误差处理
一.处理系统误差的一般知识
1、发现系统误差的方法
理论分析法 实验对比法 数据分析法
2、系统误差的减小与消除
误差根源：减小、消除 实验技巧：交换法、替代法、异号法等。
二.随机误差及分布
随机误差在实验过程中是不可避免亦不可 消除的，其对任一次测量结果的影响具有随机 性的特点。但在多次测量中表现出确定的规律
即统计规律。依此可用来对随机误差的影响程
度作出客观的评价。
1、标准误差与标准偏差
标准误差（标准差)：
( x)
n
lim
1 n 2 ( xi xo ) n i 1
实验标准（偏）差－贝塞尔法※
s ( x)
1 n 2 ( x x ) i n 1 i 1
※ 测量次数n为有限次时用其计算直 接测量量的实验标准差。
数越少，表现为有界性。偏大的数 据与偏小的 数据基本相等表现为对 称性。大部分数据存在 于确定的范围内，该范围可评价随机误差的大 小。
可以预计，当 测量次数无限增多 n 时，曲线将表现为 单峰、有界、严格 对称的特征。在有 限次测量下，得到 的所有曲线，是以 对称曲线为中心， 左右摆动的曲线族。
100 次 60次
30次
xi
在数理统计上, 描述具有单峰、有界、
对称的统计函数.叫正态分布函数。常用来
解释随机量测量过程中的随机行为与规律.
在测量次数趋于无穷时，有：
1 f ( ) 2
2 2 2 e
无限多次测量 服从正态分布
标准误差
1 f ( ) e 2
f ( )
2 2 2
分度值 ±0.004mm
最末一位的 一个单位 ±量程×a%
0.1, 0.2, 0.5, 1.0 1.5, 2.5, 5.0
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2.仪器的标准误差
一般仪器误差的概率密度函数遵 从如图所示的均匀分布规律。在
，在 区间外出现的概率为零。 均匀误差的概率密度函数为
14
4、置信区间和置信概率 置信概率

置信区间
P 1
P2


f ( )d 68.3%
[ , ]
[2 ,2 ]
2
2
f ( )d 95,5%
f ( )d 99.7%
3
p3
3

[3 ,3 ]
标准差 所表示的统计意义 对物理量x任做一次测量时，测量误差 落在- 到+之间的可能性为68.3%， 落在-2 到+2之间的可能性为95.5%， 而落在-3到+3之间的可能性为99.7%。
仪器名称
钢直尺 钢卷尺
游标卡尺 螺旋测微计 物理天平 水银温度计 读数显微镜 数字式电表 指针式电表
量 程 0~300mm
分度值 1mm
仪器误差
±0.1mm ±0.5mm
分度值 ±0.004mm ±50mg
0~1000mm
0~300mm 0~100mm 1000g -30~300℃
1mm
0.02, 0.05mm 0.01mm 100mg 1 ℃,0.2 ℃,0.1℃ 0.01mm
例，用秒表测单摆的周期T，将各测量值出现的 次数列表如下。
测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
次数n 1 1 2 8
图3
8
统计直方图
5
2
2
1
0
n=30 次
测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次数n 0 2 4 10
,可以减少平均值的 实验标准差,提高测 量的准确度.
s
s( x ) ,增加测量次数 小
但是,n>10以后,n再 x) 增加, s(减小缓慢 , 0 5 10 15 n 0 n 5 15 10 因此,在物理实验教 ) 学中一般取n为6～ 测量次数对 s( x的影响 10次
3、随机误差的正态分布规律：
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C: 天平的示值误差，本书约定天平标尺分度值的 一半为仪器的示值误差。
d: 电表的示值误差， 量程 准确度等级 %
m
e: 数字式仪表，误差示值取其末位数最小分度的 一个单位。 f: 仪器示值误差或准确度等级未知，可取其最小 分度值的一半为示值误差（限）。 g:电阻箱、电桥等，示值误差用专用公式计算。
( xi x ) n 1
2
15

i 1
( xi x ) 15 1
2
0.034
3S ( x) 3 0.034 0.102
11.30 11.405 0.105 0.102
所以 11.30为坏值，应剔除。 余下的数据继续检验：
1 14 x ( x)
( xi x ) 14 1
2
0.018 3S ( x) 0.054
S(x) 14个测量值均满足 xi x 3 条件，无坏值。
** 检测情况与测量列构成有关，应n〉9。**
2、肖维涅准则(要求n>4次）
xi x Cn S ( x) 为粗差，xi为坏值
检测流程
x1 xn
x
S ( x)
xi x Cn S ( x)
x i 为坏值， Cn 称为肖维涅系数。 剔除。
其值与测量次数n有关，第10页表1— Cn 值。 2给出了各种测量次数对应的
3、格拉布斯准则（较复杂）
四.仪器误差
1.仪器的示值误差（限）
国家技术标准或检定规程规定的计量器具最 大允许误差或允许基本误差，经适当的简化称为 仪器误差（限），用 表示。 m 它表示在正确使用仪器的条件下，仪器 示值与被测量真值之间可能产生的最大误差 的绝对值。
图3
14 16
7
5
1
1
统计直方图
n=60 次
测量值 次数
图3
统计直方图
xi
n
1.01
1
1.02
1.03 1.04
4
7 23
n=100次
1.05
1.06 1.07 1.08 1.09
25
20 11 5 2
1.10
2
随着测量次数增多，统计显示出如下规律 。在1.05附近，测量值出现的次数最多，表现
为单峰性。与1.05相差越多，测量值出现的次
特点： 单峰性 对称性
拐点
68 .3%
有界性
x
0
x

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1 f ( ) e 2
2 2 2
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一般写在仪器的标牌上或说明书中。
a 游标卡尺
一般测量范围在300mm以下的游标卡尺取 其分度值为仪器的示值误差限
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b 螺旋测微计
按国家标准（GB1216-75）规定，量程为 25mm的一级千分尺的示值误差为0.004mm。 螺旋测微计使用前必须检查初读数。
三. 坏值的剔除
1、拉依达准则（要求n>9)
xi x 3S ( x)为粗差, x 为坏值应剔除 . i
检测流程
x1 xn x S ( x) xi x 3S ( x) 剔除
( x) (n-1)个数据继续，对 3S保留。 继续检验，直到无坏值为止。
例 对某物体进行15次测量，测值为：
11.43 11.40 11.39 11.30 11.43 11.42 11.41 11.39 11.39 11.40 检测是否有坏值。
xi 11.42 11.44 11.40 11.43 11.42
计算:
n
1 1 x xi xi 11.405 n 15
i 1
S ( x)
2、平均值的实验标准差
有限次测量的算术平均值 亦为随 x 机变量，其实验标准差为：
n s ( x) 1 2 s( x ) ( xi x ) n(n 1) i 1 n
x 是用测量列的平均值 作为真
值
x0 的最佳估计值时， 与 x0
两x
者之间的偏离程度。
平均值的实验标准 x) 差 s(比任何一次测 s 量的实验标准差
m
f ()
1 2 m
范围内，误差出现的概率相同 m
m
m

均匀分布规律
f ( )
1 2 m
仪器的标准误差与仪器误差（限）的关系：
m 仪 3
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标准误差的物理意义
若测量的标准误 差很小，则测得 值的离散性小，重 复测量所得的结果 相互接近，测量的 精密度高； 如果很大，误 差分布的范围就较 宽，说明测得值的 离散性大，测量的 北方民族大学物理实验中心 精密度低 。
f ( 0)
1 2
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