B
(
y)
sup[
xA*
A*
(x)☆
A B
( x,
y)]
A* (x)☆ AB (x, y) (对x x)
1☆ AB (x, y) min[1, AB (x, y)]
AB ( x, y)
1 min[ A
(x),(1 B ( y)) ]
图示如后：
1
1
B ( y)
1 B(y) 1
A ( x)
这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。
称为工程隐含
用真值表表示：(精确隐含)
A(x) B ( y) min[ A(x), B ( y)] A(x) • B ( y)
11
1
1
10
0
0
01
0
0
00
0
0
1
B(y) 1
A ( x)
1
B ( y)
1
(
y)
[
x
A
(
x)
A
( x)
B
(
y)]
[( A ( x) A ( x))] B ( y)
x
B ( y) （max min 复合运算）
2. 多前提单规则
前提（1 事实） 前提2（规则1） 结果（结论）
x是A, y是B if x 是A 和 y是B,then Z是C z是C
隶属函数的计算
p (x) q ( y) 1- p (x) 1- q ( y) max[ 1 p (x), q ( y)] 1 min[p(x),1 q(y)]
11 0 0
1
1
10 0 1
0
0
01 1 0
1
1
00 1 1
1
1
传统命题逻辑的推理
1）假言推理(Modus Ponens)
前提（1 事实） x是A
前提2（规则） if x 是 A, then y 是B
then 是S2 ;
S3 B1
CE B2
S1 S2 B2 CE
R(4,3) : if 是CE和x是CE , then 是CE;
••••••
B1 B2 B3 B2
B2
B3 B3
R(7,5) : if 是B3和x是B2 , then 是B2 ;
B3 S2
S1
CE
x
S3 S3 S2 S2 S2 B1 S1 B3 B2 B3 B2
模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。
2）对 x x 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1，
来激发规则。
从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。
Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 AB (x, y) ˆ min[A(x),B ( y)] AB (x, y) ˆ [A(x) • B ( y)]
B
(
y)
[
x，y
A
(x)
B
(
y)]
[
A ( x)
B
(
y)
C
(z)]
[(
x, y
A
(x)
B
(
y)
A
(x)Βιβλιοθήκη B(y)]
C
(z)
{[(
x
A
(
x)
A
(
x))]}
{[ y
B
(
y)
B
(
y)]}
C
(z)
(1 2 ) c (z)
3) 多前提多规则
前提（ 1 事实） 前提2（规则1） 前提（ 3 规则2） 结果（结论）
2 Akl
)
令xk mkx ,则
xk ,max
(
2 xk
mAkl
2 Akl
xk
)
/(
2 xk
2 Akl
)
可解释为模糊推理系统对有噪音数据x的滤波。
p
Bl
( y)
l Gl
(
y)
sup[
xX k 1
Q
l k
( x k ,max
)]
当输入不确定性为0，即
2 xk
0,即为单点模糊情况，xk,max
x.
结论
y 是 B [(p ( p q)) q]
2) 否定前提的假言推理 (Modus Tollens)
前提（1 事实） y不是B
前提2（规则） if x 是 A, then y 是B
结论
x不 是 A [(q ( p q)) p]
2）模糊逻辑与模糊推理
☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。
一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一：
1） 前提是真，结论是真； 2） 前提是假，结论是假； 3） 前提是假，结论是真。 隐含是“假”时，则：
在教书，是教师； 不教书，不是教师； 不在教书，是教师；
4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。
逻 辑
p q pq pq
pq p q ~ p
关 系
TT
B1 B2
( )
x (x)
140 195
x
x=6
x=14
对于输入和x必须规定它们的隶属函数！
3.推理机
规则推理相当于隐含
R l
(
x,
y
)
对离散论域,规则Rl由多变量
决定
Rl (x, y) Rl (x1, , x p , y) AB (x1, , x p , y) Rl (x, y) AB (x, y), x (x1, , x p )
x是A, y是B
if x 是A1和 y是B1, then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是C
C1
C2
C1
C2
C
隶属函数的计算
C ( A B) (R1 R2 )
[(A B) R1] [(A B) R2 ]
C1 C2
B
(
y)
{ [
x，y
A
(
x)
B
(
y)]
举例：货车倒车
装卸站台
x=10, 90
[90，270 ]
x,y
[40，40 ]
x [0,20]
货车终点位置
(x f , f ) (10,90)
x=0
x=20
规则：
S3 S2 S3
R(1,2) : if 是S3和x是S1,
S2 S2 S3 S3
then 是S3; R(3,5) : if 是S1和x是B2 ,
模糊逻辑与模糊推理
1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念
命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。
隐含是重要的概念。
传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。
组合的基本操作：
1）合取 Conjunction, p q ,“交” 2）析取 Disjunction p q , “并”
在连续域情况下，应用于推理会发生问题！
x为A
If-then规则
AB (x, y)
y为B B ( y)
B
(
y)
sup [
xA
A*
(
x)
AB
(
x,
y)]
关于 B ( y)的计算
1）假定 对x x, A* (x) 1; 对 x x, A* (x) 0,
x U;
2) AB (x, y)用极小(min)三角范式计算。
m
B AX [R1, R2 ,Rm ] AX Ri
i1
Ax (x)
模糊预滤波
自适应滤波
AxR1 ( y) B1 ( y) 1
AxR2 ( y) B2 ( y) 2
• •
AxRm ( y) Bm ( y) m
B(y)
推理举例: 当货车状态为(ti ) 140 , x(ti ) 6时，激活3条规则：
[
A1
(
x)
B1
(
y)
C1
(
z)]}
{ [
x，y
A
(
x)
B
(
y
)
]
[
A2
(
x)
B2
(
y)
C2
(
z
)
]
}
（{ 11 12） C1}（{ 21 22） C2 }
模糊推理可以分几步： 1）计算兼容度； 2）求激励强度； 3）求定性（演译）结果； 4）求总输出结果。
模糊推理系统
规则库
模糊器
精确输入
去模糊器
从真值表可以获得证明：
p q p q ~ q p (~ q) ~[p(~ q)] ~ p (~ p) q
TT T F F
T FT
TF F T T
F FF
FT
T
F
F
TTT
FF T T F
TTT
隐含隶属函数表达式 pq (x, y) 1 pq (x, y) 1 min[ p (x), (1 q ( y))] 或
p
l Gl
s up[
xX k 1
Qkl
(x)]
设 : xk
(xk )
exp[
1 2 [(xk
m xk
) / xk
]2 ]
Akl
(xk )
exp[
1 2 [(xk
m Akl
)/
Akl
]2 ]