第3章 模糊逻辑与模糊推理
3.1 命题与二维逻辑
普通命题：二值逻辑中一个意义明确可以分辨真假的陈述句称为命题（举例）。

复命题：用或、 与、非、若…则、当且仅当等连接的单命题称为复命题。

注意：
()0 1 (0 1) 110 0 (0
0)
11
P Q P Q P
→⇔→=→=
3.2 模糊命题与模糊逻辑
模糊命题：具有模糊概念的命题称为模糊命题。

例P 为一模糊命题，称()[]0,1V P x =∈为模糊命题P 的真值。

模糊逻辑：将研究模糊命题的逻辑称为模糊逻辑。

3.3 布尔代数与De-Morgan 代数
布尔代数：格——满足幂等律、交换律、结合律、吸收律 分配格——还满足分配律
再满足复原律、补余律称为布尔代数 {}()01L ,,,,C =∨∧表示一个布尔代数。

模糊代数（De-Morgen 代数、模糊软代数）：
不满足补余律，且满足De-Morgen 律的布尔代数，即
[]()0,1L ,,,C =∨∧称为模糊代数。

3.4 模糊逻辑公式
模糊逻辑公式：设1x ，2x ，···，n x 为在[]1,0区间中取值的模糊变量，将映射 [][]1,01,0:→n F 称为模糊逻辑公式。

模糊逻辑公式f 的真值)(f T ，称为f 的真值函数。

真值函数的运算性质：
()()
()
'''
'
''()1()
()max (),()()min (),()()min 1,1()()T F T F T F F T F T F T F F T F T F T F F T F T F =-∨=∧=→=-+
f 真——F 中一切赋值均为2
1
)(≥F T f 假——F 中一切赋值均为1()2
T F < 1. 模糊逻辑函数的分解
例：模糊逻辑函数(,,)f x y z xy xyz xyz =∨∨，确定),,(z y x f 在2=n 处于第一级时变量的取值范围。

解：为满足f 处于第一级，则1),,(α≥z y x f 于是，1α≥y x 或1α≥z y x 或1α≥z xy 则有：
⎩⎨⎧-≥→≥≥1111αααy y x 或 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≥-≥111
11αααz y x 或
⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤≥≥111
1αααz y x 2. 模糊逻辑函数范式——标准型 析取形式：∑∏===
p i n j ij
i
x
F 11
合取形式：∏∑===p
i n j ij i
x F 11
举例：()()()()()(,,)f x y z x y x x z y x y x z y z ⎡⎤⎡⎤=∨∧∨∨∧=∨∨∨∨∨⎣⎦⎣⎦
3.5 语言变量及其集合描述 自然语言：具有模糊性，灵活。

计算机语言：形式语言，用符号表示特定的操作，不具有模糊性，严格、刻板、生硬，没有一点灵活性。

语言的集合描述
(),N a u μ表示属于T 的单词a 与属于U 的对象u 之间关系的程度.
例如N μ(高个，1.75)=0.9
3.6 模糊语言算子
语气算子 H λ ()[]()
()H A u A u λ
λ
1>λ 集中化算子，加强语气 2=λ[很]，4=λ[极] 1<λ 散漫化算子 21=λ[略]，4
1
=λ[比较] 模糊化算子
()()()()()()(),v U
FA u E
A u E u v A v ∈=∨∧
()2
() ,0 u v e
u v E u v u v δδ
--⎧-<⎪=⎨
-≥⎪⎩ 例如：5模糊化为5（略等于5，约为5） 判定化算子
()[]()()P A u d A u αα
0, 11(), <1 (0<)2
21 1x d x x x αααααα
≤⎧⎪⎪
=≤-≤⎨⎪>-⎪⎩
模糊数运算
()()()I J I J x y z z x y μμμ**==∨∧
*表示＋，－，⨯，÷四则运算，I ，J 为模糊数
3.7 模糊语言变量
模糊语言变量——五元组()()M G U X T X ,,,,
X ——语言变量名称 G ——语法规则
()X T ——语言值名称集合
M ——语义规则 U ——论域
3.8 模糊判断、模糊推理及模糊推理合成规则 1. 普通推理句
“若u 是a ，则
u 是b ”的判断句称为推理句，简记为()()a b →。

()()⇔→b a “u 是c”，()C B A c -∈
()()b a →对u 真⇔()C u A B ∈-()1()1()A u B u =-∧-
[]1()()A u B u
=- =()C A u B 2. 模糊推理句：如“若u 是晴天，则u 很暖和”
()()b a →对u 的真值()()() ()a b u →()()c
A B u =-()c
c A B =c
A B =
()1()()A u B u
=-∨
图3.1误差语言变量五元组描述示意图
μ气温
图3.2误差语言变量五元组描述示意图
举例：若晴则暖，A ＝[晴]，B =[暖] 大前提：A B → 小前提：1A 结论：()11
B A A B =→
3. 模糊推理句：若a 则b 否则c 表示为()()c a b a c →∨→或()()c A B A C →∨→。

所对应的模糊关系为()()(,)c A B A C x y μ→∨→()()()1()()A B A C x y x y μμμμ⎡⎤=∧∨-∧⎡⎤⎣⎦⎣⎦
可简化为： [](
)(,)
()()1()
()R x y A x B y A x C y =∧∨-∧⎡⎤⎣⎦
进一步简化为： c R A B A C
=⨯+⨯
4. 模糊推理合成规则
已知:R X Y →，,A X B Y ∈∈，R 及A 已知，求B ，则B A R =。

例1. 设x 表示炉温，y 表示电压，操作经验为“若炉温低，则外加电压高，否则电压不很高”，如果炉温很低，试问外加电压如何调节？ 解：① 设定论域 {}1, 2, 3, 4
, 5X Y == ② 定义 [低]＝A ＝52.044.036.028.011＋＋＋＋ [高]＝B ＝5148.036.024.012.0＋＋＋＋ 计算 [不很高
]
C ＝[很高]C
＝[]
C
5
1464.0336.0216.0104.0＋＋＋＋ ＝50436.0364.0284.0196.0＋＋＋＋
X B Y C
A
图3.3若A 则B 否则C 所确定的模糊关系。