对每一个输入，至少存在一个具有非0隶属度的多变量模糊 集。 只要从上图中移去一个多变量模糊集，则意味着模糊规则 库不再是完备的（因为在移去集合的中心，每个基函数的 隶属度为0）。
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5）模糊交（二）
假设一个系统有4个输入变量，一个输出变量，每个 变量各有7个语言值，则一个完备的模糊网络将会有 5 7 ＝16 807个中心点。 除非用特定的方法构造模糊网络的输入，否则这些 系统将会遇到所谓的“维数灾难（Curse of Dimensionality）”，这限制了它们用于小维数的建 模与控制问题。
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6）模糊并（二）
图7. 25 模糊输入输出相关关系
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6）模糊并（二）
在图7.25中，在每一个变量上定义了4个三角模糊 集（2阶B样条），代数函数用于实现逻辑运算。 它们产生一个模糊相关关系曲面，在规则中心点之 间是分段线性的，而且从等高线图可以清晰地看出 输入和输出关系的总趋势。
A B( ) S (A( ), B( ))
二元运算S可以表示 A( ) 和 B( ) 的加法。这些模 糊并算子通常被归为T协范式(或S范式)运算符。 T协范式（或S范式）算子是一个二元映射S(· ，· ) ，则它必须满足：
有界性 单调性 交换律 结合律
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5）模糊交（二）
当每一个语句表达式都用单变量B样条和高斯模糊 隶属函数表示时，多变量隶属函数是一个简单的n 维B样条或高斯基函数。 当所有可能的模糊交集都由n个模糊隶属函数集合 得到时，它隐含地在初始输入空间上（多变量模糊 隶属函数也在这个初始输入空间上定义）产生一个 n维网格，如图7.24所示。
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2. 模糊规则与模糊推理
在模糊推理中，经常碰到模糊if-then规则，简称模糊 规则。 1)模糊规则
模糊if-then规则又称模糊隐含或模糊条件语句。 if-then规则语句用以阐明包含模糊逻辑的条件语句。 一个单独的模糊if-then规则形式如下： if x is A then y is B 其中，A和B是由模糊集合分别定义在x，y范围（论域） 上的语言值。
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6）模糊并（二）
当用不同的反模糊化过程执行蕴涵标准化时，在蕴 涵中同样可以使用加法算子，即使它产生的 R ( , y) 值大于1。 所有各相关隶属函数的模糊并，在输入输出空间中 构成一条岭线，它表示各输入输出对是如何相联系 的，并且当给定一个特定的输入测量时，它可用于 推断模糊输出隶属函数。这个过程称为模糊推理。 一个典型的模糊相关关系如图7.25所示。
证：设 则
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.4 0
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模糊集的运算法则（1）
1．幂等律 A∪A=A，A∩A=A
2．交换律
A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
3．结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
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A
B
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则
0.9 0.2 0.8 0.6 A B u1 u2 u3 u4
0 .3 0 .1 0 .4 0 .5 A B u1 u2 u3 u4
模糊逻辑与模糊推理
School of Information Science & Technology Dalian Maritime University 2011-10-29
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目录
第7章 模糊逻辑与模糊推理
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 模糊逻辑的历史 模糊集 隶属函数 模糊运算与模糊推理 模糊系统
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例子：模糊补集的互补律 试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成 立： A (u ) A (u ) 1 A (u ) A (u ) 0
A (u ) 0.4 ， A (u) 1 0.4 0.6
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.6 1
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 20 AUB
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3）模糊交（一）
两个模糊集合A和B的“交”为模糊集合C。写成 C=A∩B，或C＝A and B。C与A和B的隶属函数 的关系为
C ( ) min( A ( ), B ( ))
由模糊子集的关系，可以很容易地理解模糊交的 算子为min，即两者取其小。
一个二维的模糊隶属函数由两个三角(2阶B样条)单 变量隶属函数的乘积构成，形状如图7.23所示 。
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5）模糊交（二）
图7. 23 两个三角单变量隶属函数乘积构成的二维模糊隶属函数
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5）模糊交（二）
多变量隶属函数的形状决定于单变量隶属函数的形 状以及三角范式的算子。 用乘法算子构成的多变量隶属函数所保留的信息， 比用min算子实现模糊“AND”时所保留的信息要 多。因为后者仅保留了一段信息，而乘法算子结合 了n段信息。 当完整地定义了一阶导数时，采用乘法算子还允许 将误差信息反向传播回网络中。 一般情况下，其输出结果是一个更平滑的曲面。
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6）模糊并（二）
如果h个多变量模糊输入集合 Ai 映射到q个单变量模 j B 糊输出集合 上，则对hq个逻辑关系，存在hq个相 对应的叠加的n+1维隶属函数。 这hq个逻辑关系被各个隶属函数并(OR)相结合，构 成一个模糊规则库R。该运算定义如下：
R ( , y) i , j r ( , y)
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 21 A∩B
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4）模糊补
模糊集合A的补表示为－A或 A（非A）。模糊补 的隶属函数定义为
A ( ) 1 A ( )
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 22 －B
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例子：模糊交集和并集 设
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф =A，A∩Ф =Ф
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模糊交集与T范式
模糊集合A和B的交集可由一个二元映射T指定， 它将两个隶属函数按如下方式结合起来
A B ( ) T ( A ( ), B ( )) 二元运算T可代表 A ( ) 和 B ( ) 的乘积。这些模
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5）模糊交（二）----模糊乘规则
模糊乘规则的前提是由n个单变量语句的模糊交（ AND）构成
(1is Ai ) AND... AND(nis Ai )
1 n
i ... A ) n (1 ,..., n ， 它产生一个新多变量隶属函数 A 记为 A ( ) ，它定义在初始的n维输入空间上，其输
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1. 模糊运算
与经典集合的并、交、补的运算相对应，模糊集合 也有相似的运算。模糊并、模糊交、模糊补 1）模糊子集
当且仅当对所有的ξ，均有 A ( ) B ( ) ，则称模糊集合A被包 含在模糊集合B中，或称A是B的子集，或称模糊集合A小于或 等于模糊集B。记为
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5）模糊交（二）
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图7. 24 由两个三角模糊集构成的二维模糊集
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5）模糊交（二）
在图7.24中，一个完整的二维模糊隶属函数集合由 两个三角单变量模糊集合产生。 图中的实心圆表示其中心，虚线区表示两个单变量 集合如何用交集算子结合起来。 当模糊交集由每一个可能的单变量模糊输入集的结 合得到时，多变量隶属函数的数目是输入变量数目 的指数函数（Exponential Function）。此时称这种 模糊系统是完备的。
推论：
一个明确的集合具有适当的一般性 集合A或B中隶属值的减少不会导致A，B交集中隶属度的 增加 运算符对模糊集合的顺序是无关紧要的 表示可以按任意的顺序对任意多个集合进行模糊交运算
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模糊并与T协范式
模糊并的运算由一个指定的二元映射S产生，即
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模糊集的运算法则（2）
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6A A
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模糊集的运算法则（3）
7．对偶律
A B A B
A B A B
i, j

为一类称为三角协范式的函数。 式中，

三角协范式同样提供了大量的适用函数
max算子 加法算子
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6）模糊并（二）
用max算子可以保证在输入输出空间每一特定的点 上，只有一个规则对输出有作用。 各个作用之和可以保证若干规则影响相关曲面 R ( , y) 。 (Relational Surface） 但是，在理论上用加法不能保证合理性，因为它产 生的输出可能大于1。 当输入输出单变量隶属函数构成单位分解、乘法算 子用于交集和蕴涵，并且规则信度向量归一时，这 就不是什么问题了，因为系统是自标准的。