2019-2020学年重庆市涪陵十九中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确，请将答题卡上对应题目正确答案的标号涂黑．1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣x（x+7）＝0C．2x2﹣y﹣1＝0D．x2﹣2x﹣3＝02．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．（4分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠14．（4分）抛物线y＝﹣2x2经过平移到y＝﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向上平移3各单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10B．10C．﹣6D．26．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为﹣4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）7．（4分）烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．（4分）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4B．8C．6D．09．（4分）某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是（）A．800（1+a%）2＝578B．800（1﹣a%）2＝578C．800（1﹣2a%）＝578D．800（1﹣a2%）＝57810．（4分）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．11．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B﹣C﹣D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（）A．B．C．D．12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；⑤c+8a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．14．（4分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．15．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．16．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）17．（4分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙两辆货车都要从A地送货到B地，甲车先从A地出发匀速行驶，3小时后，乙车从A地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达B地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇．甲车出发的时间记为t（小时），两车之间的距离记为y（千米），y与t的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇时，甲车距离A地千米．18．（4分）某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元．若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品中，大笔记本购买的数量是本．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0（2）2x2﹣3x﹣1＝0．20．（8分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．四、（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）21．（10分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．（10分）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：DF＝AB；（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（﹣2，0）．（1）求b，c的值；（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面积．24．（10分）为推进生态文明建设，加快发展新能源汽车，国家对新能源汽车实行补贴政策．一家4S店从事某品牌纯电动汽车和插电式混动汽车两种新能源汽车（以下简称电动车和混动车）的销售，电动车每辆进价16万元，去年国家对该车每辆补贴4.5万元，补贴后每辆售价14万元；混动车每辆进价18万元，去年国家对该车每辆补贴2.8万元，补贴后每辆售价18万元．该4S店去年12月共销售这两种汽车120辆，获得利润324万元．（1）求该4S店去年12月销售了多少辆混动车？（2）今年国家对该品牌新能源汽车的补贴有所下降，电动车每辆比去年少补贴0.5万元，混动车每辆比去年少补贴0.8万元，该4S店为减少损失，今年1月把电动车的售价提高了m%，结果销量在去年12月的基础上减少了m%，对混动车的售价没有作调整，而销量在去年12月的基础上增加了2.4m辆，结果该4S店今年1月的利润比去年12月少了14万元，求m的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分22分）25．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D （m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．26．（12分）已知抛物线y＝x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△P AB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年重庆市涪陵十九中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确，请将答题卡上对应题目正确答案的标号涂黑．1．【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B、由该方程得到﹣7x＝0，未知数的最高次数是1，故本选项不符合题意．C、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．故选：D．3．【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4（k﹣1）＝8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．4．【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x﹣5＝﹣2（x+1）2﹣3，∴y＝﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线y＝﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣4x﹣5．故选：B．5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，∴﹣2+4＝﹣m，﹣2×4＝n，解得：m＝﹣2，n＝﹣8，∴m+n＝﹣10，故选：A．6．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x＝1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．故选：C．7．【解答】解：∵h＝﹣t2+20t+1，∴h＝﹣（t﹣4）2+41，∴当t＝4秒时，礼炮达到最高点爆炸．故选：B．8．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，故选：A．9．【解答】解：由题意可得：800（1﹣a%）2＝578．故选：B．10．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x＝﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．11．【解答】解：（1）如图1，当动点Q在BC边上运动时，，∵4÷3＝，∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是秒，∵AP＝2x，BQ＝3x，∴y＝2x×3x÷2＝3x2（0＜x），∴抛物线开口向上；（2）如图2，当动点Q在CD边上运动时，，∵（8+4）÷3＝4（秒），4﹣，∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是秒，∵AP＝2x，BC＝4，∴y＝2x×4÷2＝4x（＜x≤4），单调递增，综上，可得y＝，∴能大致表示y与x之间函数关系图象的是：．故选：B．12．【解答】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，∴a＜0，c＞0，﹣＝1，即2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，故①②正确；∵抛物线的图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；∵2a+b＝0，即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，∵a＜0，∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；即正确的有3个，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13．【解答】解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．14．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，∴对称轴为x＝1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3，故答案为y1＝y2＞y3．15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴，解得k≥﹣1且k≠0．故答案为：k≥﹣1且k≠0．16．【解答】解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；②当c＝0时不成立；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故答案为：①④．17．【解答】解：设甲车的速度为akm/h，乙车的速度为bkm/h，，解得，，设甲乙第二次相遇的时间为t小时，300＝（60+180）×（t﹣7），解得，t＝，则乙车第二次与甲车相遇时，甲车距离A地：60×＝495（千米），故答案为：495．18．【解答】解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有5x+7y+10z＝346，y＝2z，易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34，∴5x+14z+10z＝346，5x+24z＝346，即x＝．∵x，y，z均为正整数，346﹣24z≥0，即0＜z≤14，∴z只能取14，9和4，①当z为14时，x＝＝2，y＝2z＝28，x+y+z＝44．②当z为9时，x＝＝26，y＝2z＝18．x+y+z＝53．③当z为4时，x＝＝50，y＝2z＝8．x+y+z＝62．综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支．故答案为：8三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）19．【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0，（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝0，x﹣1＝0，x1＝5，x2＝1；（2）2x2﹣3x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17，x＝，x1＝，x2＝．20．【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，∴∠FGH＝55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB＝55°﹣35°＝20°．四、（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）21．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，解得：x＝﹣，a＝，即a＝，方程的另一个根为﹣；（2）∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DF A＝90°，∴∠DF A＝∠B，又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB．（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8．23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（﹣2，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2，即y＝x2+4x+4，∴b＝4，c＝4；（2）当x＝0时，y＝x2+4x+4＝4，则B（0，4），∴△OAB的面积＝×2×4＝4．24．【解答】解：（1）设该4S店去年12月销售了x辆混动车，由题意，得（14+4.5﹣16）（120﹣x）+（18+2.8﹣18x）＝324解得x＝80答：该4S店去年12月销售了80辆混动车；（2）由题意，得[14（1+m%）+4﹣16]×40（1﹣m%）+（18+2﹣18）×（80+2.4m）＝324﹣14解得m1＝10，m2＝50，当m＝50时，1﹣m%＝﹣＜0，不符合题意，舍去．故m＝10．答：m的值为10．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分22分）25．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．26．【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x＝0）．（2）∵△P AB是等边三角形，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．∴AB＝20A＝4．∴PB＝4．解法一：把y＝4代入y＝x2+1，得x＝±2．∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．解法二：∴OB＝＝2∴P1（2，4）．根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）∴设线段AP所在直线的解析式为y＝kx+b∴解得：∴解析式为：y＝x+2设存在点N使得OAMN是菱形，∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m，m+2）如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ＝m，AQ＝OQ﹣OA＝m+2﹣2＝m ∵四边形OAMN为菱形，∴AM＝AO＝2，∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2＝AM2，即：m2+（m）2＝22解得：m＝±代入直线AP的解析式求得y＝3或1，当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：当N在右图1位置时，∵OA＝MN，∴MN＝2，又∵M点坐标为（，3），∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．当N在右图2位置时，∵MN＝OA＝2，M点坐标为（﹣，1），∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N2坐标为（﹣，﹣1）．当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：第一种是当点M在线段P A上时（P A内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；第二种是当M点在P A的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．。