第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式:【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ).Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50°变式训练：设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则1l 的倾斜角为( ）。
A.45α+︒ B ． 135α-︒ C. 135α︒-Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+︒,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-︒题型 二 求直线的斜率例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3ﻩ Ｂ． ｋ3<k １<k 2 C ． k 3＜k ２<ｋ1ﻩﻩＤ． k １＜k 3<k 2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A (a ，2)、Ｂ(３，7）、Ｃ(-２，-9ａ)在一条直线上，求实数a 的值.变式训练:若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）.A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -=拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练:已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值。
变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m aa b b m b+><<+且0)m >3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】1．直线平行的判定２.两条直线垂直的判定（注意垂直与ｘ轴和y 轴的两直线）：【典型例题】题型 一 两条直线平行关系例 1 已知直线1l 经过点Ｍ（-3，０)、N (-15,-６),2l 经过点R （-2,32)、S (0，52）,试判断1l 与2l 是否平行?变式训练：经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线,则m 的值是（ ）.A ．4 ﻩB.1 C .1或３ ﻩＤ．1或4题型 二 两条直线垂直关系例 2 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -,求顶点A 的坐标.变式训练：(1）1l 的倾斜角为４5°，2l 经过点P （-２，-1)、Q （3,-6），问1l 与2l 是否垂直?(２）直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根,则12l l 与的位置关系是 . 题型 三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线1l 经过点A （3，a)、B （a-2，-3）,直线2l 经过点C （2，3）、D （-１,a-2）, （１)如果1l //2l ，则求ａ的值；（2）如果1l ⊥2l ，则求a 的值题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用例4 四边形ABC Ｄ的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形AB ＣD 的形状.变式训练：已知A (1,1),B （2,2）,Ｃ(3,-３），求点Ｄ,使直线C Ｄ⊥ＡB ，且CB ∥ＡD ．探点 一 数形结合思想例 5 已知过原点Ｏ的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、Ｂ两点，分别过点A 、Ｂ作ｙ轴的平行线与函数y =ｌog ２x 的图象交于C 、Ｄ两点．（1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上． (2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.探点 二 分类讨论思想例６ ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -,若ABC ∆为直角三角形，求ｍ的值.3．2 直线的方程３.２.1 直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程:【典型例题】题型 一 求直线的方程例1 写出下列点斜式直线方程： （1）经过点(2,5)A ,斜率是4；(2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.例 ２ 倾斜角是135,在y 轴上的截距是3的直线方程是 .变式训练:1. 已知直线ｌ过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线ｌ的方程为2. 已知直线l 在y 轴上的截距为-３,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程.3．将直线1y x =+绕它上面一点沿逆时针方向旋转1５°，得到的直线方程是 .题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-,直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。
探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4. 已知直线31y kx k =++．（1）求直线恒经过的定点；(2）当33x -≤≤时,直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.探究 二 直线平移例 5 已知直线l:y ＝2x －3 ，将直线l 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__＿_______＿_______3．2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1．直线的两点式方程:２.直线的截距式方程:【典型例题】题型 一 求直线方程例 1 已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -,求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.变式训练：1．已知点A （１,2）、Ｂ(３,１），则线段AB 的垂直平分线的方程是( ).Ａ．425x y +=ﻩ B ．425x y -= Ｃ．25x y += D.25x y -= 2.已知1122234,234x y x y -=-=,则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是( )．A. 234x y -= B ． 230x y -= C. 324x y -= D ． 320x y -=例 2求过点(3,2)P ,并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l 过点（3,-1),且与两轴围成一个等腰直角三角形,则ｌ的方程为题型 二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定,则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示.(1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围;（２）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票?探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积例 4 已知直线l 过点(2,3)-,且与两坐标轴构成面积为４的三角形，求直线l 的方程.（千克）探究二有关光的反射例５光线从点A（-３，４）发出，经过x轴反射,再经过y轴反射，光线经过点B（-2，６),求射入y轴后的反射线的方程.变式训练:已知点(3,8)+最小时的点Ｐ的坐标.A-、(2,2)B,点P是x轴上的点，求当AP PB3.2．3直线的一般式方程【知识点归纳】１.直线的一般式:2.直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型 一 灵活选用不同形式求直线方程例1 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:（1)斜率是－12,经过点A (８，－2); （2)经过点B （4，2),平行于x 轴;（3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，-３; (4)经过两点1P （3,-2)、2P （５,－4）.题型 二 直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式:过点(5,6),(4,8)A B --．题型 三 直线一般式方程的性质例 ３直线方程0Ax By C ++=的系数A 、Ｂ、C 分别满足什么关系时,这条直线分别有以下性质？(1)与两条坐标轴都相交；(２）只与x 轴相交;（3)只与y 轴相交;（4）是x 轴所在直线；（5)是ｙ轴所在直线.变式训练：已知直线:5530l ax y a --+=。
（1)求证:不论a 为何值,直线l 总经过第一象限；(2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围。
题型 四 运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=,问ｍ为何值时：（1)12l l ⊥; （2)12//l l .变式训练：（1)求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；(2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.题型 五 综合运用例 ５ 已知直线1:60l x my ++=,2:(2)320l m x y m -++=,求m 的值，使得：(1）ｌ1和l 2相交;（２）l １⊥ｌ2;（３)l 1/／l ２;(4)ｌ１和l 2重合.３.3 直线的交点坐标与距离公式 3．３．１ 两直线的交点坐标3.３.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标:2.两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －３ｙ+10＝０ , ｌ2: 3x +4y -２=0; (２)直线l 1: 1nx y n -=-, ｌ2: 2ny x n -=.题型 二 三条直线交同一点例 2 若三条直线2380,1020x y x y kx y ++=--=-+=，相交于一点，则k 的值等于变式训练：１.设三条直线：21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值2．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.题型 三 求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.变式训练:已知直线l1: ２x－3ｙ+10=0 ,l2: 3x+４y-2=0. 求经过l1和l2的交点,且与直线l３：3x－2ｙ+4=０垂直的直线ｌ的方程.题型四两点间距离公式应用例4已知点(2,1),(,3)--且||5A B aAB=，则a的值为变式训练：在直线20-=上求一点P，使它到点(5,8)x yM的距离为5，并求直线PM的方程.题型五三角形的判定例5已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，判断ABC∆的类型．探究一直线恒过定点问题例6已知直线(2)(31)1-=--．求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.a y a x变式训练：若直线ｌ:y=kｘ2x+3y-６=0的交点位于第一象限，求直线ｌ的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小,差最大)例7 直线2ｘ－y－4=0上有一点P,求它与两定点A（4，-１),Ｂ(３，４）的距离之差的最大值.变式训练：已知(1,0)(1,0)--=上的动点.求22x yM N-、,点P为直线210+的最小值,PM PN及取最小值时点P的坐标.3.3.３点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离【知识点归纳】1．点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例 1 已知点(,2)(0)a a>到直线:30l x y-+=的距离为1,则a＝（）.ﻩ1ﻩD1题型二利用点到直线距离求直线的方程例2 求过直线1110 :33l y x=-+和2:30l x y-=的交点并且与原点相距为1的直线l的方程．变式训练:直线ｌ过点P(1，2)，且M(2,3)，N(４，-5)到l的距离相等，则直线l的方程是题型三利用平行直线间的距离求参数例 ３若两平行直线3210x y --=和60x ay c ++=，求2c a +的值.变式训练:两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是( ). Ａ． 213 B. 113Ｃ. 126 D. 526题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线:51260l x y -+=平行且与l 的距离2的直线方程是题型 五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点P 到两个定点Ｍ（-1,0）、N (1，0Ｎ到直线PM 的距离为1.求直线PN 的方程.探究 一 与直线有关的对称问题例 6 △ＡBC 中,(3,3),(2,2),(7,1)A B C --. 求∠A 的平分线A Ｄ所在直线的方程.变式训练：１.与直线2360x y +-=关于点（1，－１）对称的直线方程是 ２．求点A （2,2)关于直线2490x y -+=的对称点坐标探究 二 与距离有关的最值问题例 7 在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线:310l x y --=上求一点P,使得:（１）P 到A(4，1）和B(０,4）的距离之差最大。