P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性)；
(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；
(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n

n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
测量误差 = 真值 - 观测值
测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
第一节 测量误差的分类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差 1.粗差(错误)——超限的误差 2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m|
评定误差精度指标
• 三、相对误差(相对中误差)
• ——误差绝对值与观测量之比。 • 用于表示距离的精度。 • 用分子为1的分数表示。 • 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 • 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； • S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)
时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为
“正态分布曲线”，
y
又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
m1=2.7是第一组观测值 的中误差；
m2=3.6是第二组观测值 的中误差。 m1小于m2,说明第一组 观测值的误差分布比较 集中，其精度较高；相 对地，第二组观测值的 误差分布比 较离散，其 精度较低：
第三节 评定误差精度指标
三、允许误差
• 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
• 率为：
规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同表 面看无规律性。
• 例： 误差
处理方法
• 钢尺尺长误差ld 计算改正
• 钢尺温度误差lt 计算改正
• 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
• 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
K1=—100.0—02
=——1 5000
；
K2=
—0.—02 200
=
—1— 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
第三节 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不 便于直接进行观测，而需要由另一些直接 观测量根据一定的函数关系计算出来，这 时函数中误差与观测值中误差必定有一定 的关系。本节所要讨论的就是在观测值中 误差为已知的情况下，如何求观测值函数 中误差的问题。阐述观测值中误差与函数 中误差之间数学关系的定律，称为误差传 播定律。
第三节 误差传播定律
观测值的函数
例：高差
h a b
和或差函数
平均距离
S平均
1 n
(s1
s2
sn )
线性函数
实地距离 D M • d
倍数函数
三角边 坐标增量
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形
lim []
n n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
第二节 评定误差精度指标
第二节 评定误差精度指标
频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 • 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称
于y轴。
各条形顶边中点连线经光 滑后的曲线形状，表现出 偶然误差的普遍规律
第一节 测量误差的分类
偶然误差的特性
从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特 性：
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值(有界性)；
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
第一节 测量误差的分类
第一节 测量误差的分类
用频率直方图表示的偶然误差统计： • 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的
第五章 测量误差的基本知识
1.测量误差的分类 2.评定精度的指标 3.误差的传播定律 4.算术平均值及中误差 5.同精度观测值的中误差 6.不同精度观测
第一节 测量误差的分类
在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一 段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得 的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质 上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之 间的差值，这种差值称为测量误差，即:
第二节 评定误差精度指标
几个概念
准确度 (测量成果与真值的差异） 精（密）度（观测值之间的离散程度） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度）
一、平均误差
在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值 来求得算术平均值，即：
n
i1
n
第二节 评定误差精度指标
二、中误差
第一节 测量误差的分类
• 误差的处理原则
• 1.避免错误 • 2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作
中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度…） • 3.系统误差应当近可能的按照其产生的原因和规律加以改
正
第一节 测量误差的分类
偶然误差特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内